Problema del triángulo de Kobon

Problema sin resolver en matemáticas

¿Cuántos triángulos que no se superponen se pueden formar en una disposición de${\displaystyle k}$¿pauta?

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El problema del triángulo de Kobon es un problema sin resolver en geometría combinatoria, planteado por primera vez por Kobon Fujimura (1903-1983). El problema consiste en hallar el mayor número N ( k ) de triángulos no superpuestos cuyos lados se encuentran sobre una disposición de k líneas . Algunas variantes del problema consideran el plano proyectivo en lugar del plano euclidiano y requieren que los triángulos no sean cruzados por ninguna otra línea de la disposición. ^{[ 1 ]}

Saburo Tamura demostró que el número de triángulos no superpuestos realizables por${\displaystyle k}$Las líneas son como máximo${\displaystyle \lfloor k(k-2)/3\rfloor }$. G. Clément y J. Bader demostraron con mayor contundencia que este límite no se puede alcanzar cuando${\displaystyle k}$es congruente con 0 o 2 módulo 6. ^{[ 2 ]} Por lo tanto, el número máximo de triángulos es como máximo uno menos en estos casos. Los mismos límites pueden enunciarse de forma equivalente, sin utilizar la función piso , como: $${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1}{3}}k(k-2)&{\text{cuando }}k\equiv 3,5{\pmod {6}};\\{\frac {1}{3}}(k+1)(k-3)&{\text{cuando }}k\equiv 0,2{\pmod {6}};\\{\frac {1}{3}}(k^{2}-2k-2)&{\text{cuando }}k\equiv 1,4{\pmod {6}}.\end{cases}}}$$

Se conocen las soluciones que producen este número de triángulos cuando${\displaystyle k}$es 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31 o 33. ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} Para k = 10, 11 y 12, las mejores soluciones conocidas alcanzan un número de triángulos uno menos que este límite superior.

Además, el límite superior para valores pares${\displaystyle k}$puede mejorarse:${\displaystyle \lfloor k(k-7/3)/3\rfloor }$. ^{[ 4 ]} Este límite se puede alcanzar para 10, 12 y 16. ^{[ 3 ]}

Durante mucho tiempo se pensó que el límite superior para k = 11 era inalcanzable, lo cual fue demostrado como correcto en 2025 por Pavlo Savchuk con el uso de un solucionador SAT . ^{[ 6 ]}

Se conocen los siguientes límites:

La versión del problema en el plano proyectivo permite más triángulos. En esta versión, es conveniente incluir la línea en el infinito como una de las líneas dadas, después de lo cual los triángulos aparecen en tres formas:

• triángulos ordinarios entre las líneas restantes, delimitados por tres segmentos de línea finitos,
• triángulos delimitados por dos rayos que se encuentran en un vértice común y por un segmento de la línea en el infinito, y
• triángulos delimitados por un segmento de línea finito y por dos rayos paralelos que se encuentran en un vértice de la línea en el infinito.

Por ejemplo, una disposición de cinco líneas finitas que forman un pentagrama , junto con una sexta línea en el infinito, tiene diez triángulos: cinco en el pentagrama y cinco más delimitados por pares de rayos.

D. Forge y JL Ramirez Alfonsin proporcionaron un método para pasar de una disposición en el plano proyectivo con${\displaystyle k>3}$líneas y${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}k(k-1)}$triángulos (el máximo posible para${\displaystyle k>3}$), con ciertas propiedades adicionales, a otra solución con${\displaystyle K=2k-1}$líneas y${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}K(K-1)}$triángulos (nuevamente máximo), con las mismas propiedades adicionales. Como observan, es posible comenzar este método con la disposición proyectiva de seis líneas y diez triángulos descrita anteriormente, produciendo disposiciones proyectivas óptimas cuyo número de líneas es

Así, en el caso proyectivo, existen infinitos números diferentes de líneas para las cuales se conoce una solución óptima. ^{[ 1 ]}

El problema tradicional de los triángulos en el plano euclidiano suele dividirse en dos partes: el problema equivalente, pero con una disposición de pseudolíneas , y el problema de la elasticidad de las disposiciones de pseudolíneas que tienen un número óptimo de triángulos. Al trabajar con pseudolíneas, se puede recurrir a la combinatoria pura y a la teoría de grupos sin necesidad de preocuparse por violar reglas como el teorema de Pappus o el teorema de Desargues . ^{[ 4 ] [ 7 ]}

Se dice que una disposición de pseudolíneas es estirable si es combinatoriamente equivalente a una disposición de líneas, lo que significa que se puede enderezar cada una manteniendo el orden en que se cruzan entre sí, pero es completo para la teoría existencial de los reales distinguir las disposiciones estirables de las no estirables. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

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  3 líneas, 1 triángulo
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  4 líneas, 2 triángulos
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  5 líneas, 5 triángulos
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  6 líneas, 7 triángulos
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  7 líneas, 11 triángulos

• El teorema del triángulo de Roberts , sobre el número mínimo de triángulos que${\displaystyle n}$Se pueden formar líneas

• Johannes Bader, "Triángulos de Kobon"
• Roman Parpalak, El rompecabezas de Arnold , para el problema 1983–4