Superficie de Klein

En matemáticas, una superficie de Klein es una variedad dianalítica de dimensión compleja 1. Las superficies de Klein pueden tener frontera y no necesariamente son orientables . Las superficies de Klein generalizan las superficies de Riemann . Mientras que estas últimas se utilizan para estudiar analíticamente curvas algebraicas sobre los números complejos , las primeras se utilizan para estudiar analíticamente curvas algebraicas sobre los números reales. Las superficies de Klein fueron introducidas por Felix Klein en 1882. ^{[ 1 ]}

Una superficie de Klein es una superficie (es decir, una variedad diferenciable de dimensión real 2) en la que la noción de ángulo entre dos vectores tangentes en un punto dado está bien definida, al igual que el ángulo entre dos curvas que se intersecan en la superficie. Estos ángulos se encuentran en el intervalo [0,π]; dado que la superficie no posee noción de orientación, no es posible distinguir entre los ángulos α y −α . (Por el contrario, en las superficies de Riemann los ángulos están orientados y se pueden definir de forma significativa ángulos en el intervalo [-π,π]). La longitud de las curvas, el área de las subvariedades y la noción de geodésica no están definidas en las superficies de Klein.

Dos superficies de Klein X e Y se consideran equivalentes si existen aplicaciones diferenciables conformes (es decir, que conservan los ángulos pero no necesariamente la orientación) f : X → Y y g : Y → X que mapean frontera con frontera y satisfacen fg = id _Y y gf = id _X .

Toda superficie de Riemann (variedad analítica de dimensión compleja 1, sin frontera) es una superficie de Klein. Algunos ejemplos son los subconjuntos abiertos del plano complejo (no compactos), la esfera de Riemann (compacta) y los toros (compactos). Cabe destacar que existen muchas superficies de Riemann diferentes pero no equivalentes con el mismo toro subyacente como variedad.

Un disco cerrado en el plano complejo es una superficie de Klein (compacta, con frontera). Todos los discos cerrados son equivalentes como superficies de Klein. Un anillo cerrado en el plano complejo es una superficie de Klein (compacta, con frontera). No todos los anillos son equivalentes como superficies de Klein: existe una familia uniparamétrica de superficies de Klein no equivalentes que surgen de esta manera a partir de los anillos. Al eliminar varios discos abiertos de la esfera de Riemann, obtenemos otra clase de superficies de Klein (compactas, con frontera). El plano proyectivo real puede transformarse en una superficie de Klein (compacta, sin frontera), esencialmente de una sola manera. La botella de Klein puede transformarse en una superficie de Klein (compacta, sin frontera); existe una familia uniparamétrica de estructuras de superficies de Klein no equivalentes definidas en la botella de Klein. De manera similar, existe una familia uniparamétrica de estructuras de superficies de Klein no equivalentes (compactas, con frontera) definidas en la cinta de Möbius . ^{[ 2 ]}

Toda 2-variedad topológica compacta (posiblemente con frontera) puede convertirse en una superficie de Klein, ^{[ 3 ]} a menudo de muchas maneras diferentes y no equivalentes.

El límite de una superficie de Klein compacta consta de un número finito de componentes conexas , cada una de las cuales es homeomorfa a un círculo. Estas componentes se denominan óvalos de la superficie de Klein. ^{[ 3 ]}

Supongamos que Σ es una superficie de Riemann (no necesariamente conexa) y τ:Σ→Σ es una involución antiholomórfica (con inversión de orientación) . Entonces, el cociente Σ/τ posee una estructura de superficie de Klein natural, y toda superficie de Klein puede obtenerse de esta manera esencialmente de una sola forma. ^{[ 3 ]} Los puntos fijos de τ corresponden a los puntos frontera de Σ/τ. La superficie Σ se denomina "doble analítico" de Σ/τ.

Las superficies de Klein forman una categoría ; un morfismo de la superficie de Klein X a la superficie de Klein Y es una aplicación diferenciable f : X → Y que en cada parche de coordenadas es holomorfa o el conjugado complejo de una aplicación holomorfa y además mapea el límite de X al límite de Y.

Existe una correspondencia biunívoca entre las curvas algebraicas proyectivas suaves sobre los números reales (salvo isomorfismo ) y las superficies de Klein compactas conexas (salvo equivalencia). Los puntos reales de la curva corresponden a los puntos frontera de la superficie de Klein. ^{[ 3 ]} En efecto, existe una equivalencia de categorías entre la categoría de curvas algebraicas proyectivas suaves sobre R (con aplicaciones regulares como morfismos) y la categoría de superficies de Klein compactas conexas. Esto es similar a la correspondencia entre las curvas algebraicas proyectivas suaves sobre los números complejos y las superficies de Riemann compactas conexas. (Nótese que las curvas algebraicas consideradas aquí son curvas abstractas: esquemas unidimensionales separados e integrales de tipo finito sobre R. Dicha curva no tiene por qué tener puntos racionales sobre R (como la curva X² ⁺ Y² + ¹ = 0 sobre R ), en cuyo caso su superficie de Klein tendrá frontera vacía).

También existe una correspondencia biunívoca entre superficies de Klein compactas conexas (salvo equivalencia) y campos de funciones algebraicas en una variable sobre R (salvo R -isomorfismo). Esta correspondencia es similar a la que existe entre superficies de Riemann compactas conexas y campos de funciones algebraicas sobre los números complejos. ^{[ 2 ]} Si X es una superficie de Klein, una función f : X → C u{∞} se denomina meromorfa si, en cada parche de coordenadas, f o su conjugado complejo es meromorfo en el sentido ordinario, y si f toma solo valores reales (o ∞) en la frontera de X. Dada una superficie de Klein conexa X , el conjunto de funciones meromorfas definidas en X forma un campo M( X ), un campo de funciones algebraicas en una variable sobre R . M es un functor contravariante y produce una dualidad (equivalencia contravariante) entre la categoría de superficies de Klein compactas conexas (con morfismos no constantes) y la categoría de campos de funciones en una variable sobre los reales.

Se pueden clasificar las superficies de Klein compactas y conexas X salvo homeomorfismo (¡pero no salvo equivalencia!) especificando tres números ( g , k , a ): el género g de la doble Σ analítica, el número k de componentes conexas del borde de X y el número a , definido por a = 0 si X es orientable y a = 1 en caso contrario. ^{[ 3 ]} Siempre tenemos k  ≤ g + 1. La característica de Euler de X es igual a 1 - g . ^{[ 3 ]} 

• Norman L. Alling; Newcomb Greenleaf (1971), Fundamentos de la teoría de las superficies de Klein. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 219. , Springer-Verlag