Protocolo KLM

Para evitar perder generalidad, la discusión a continuación no se limita a una instancia particular de representación de modo. Un estado escrito como${\displaystyle |0,1\rangle _{VH}}$significa un estado con cero fotones en modo${\displaystyle V}$(podría ser el canal de polarización "vertical") y un fotón en el modo${\displaystyle H}$(podría ser el canal de polarización "horizontal").

En el protocolo KLM, cada uno de los fotones suele estar en uno de dos modos, y los modos son diferentes entre los fotones (la posibilidad de que un modo esté ocupado por más de un fotón es cero). Esto no ocurre solo durante las implementaciones de puertas cuánticas controladas como CNOT. Cuando el estado del sistema es como se describe, los fotones se pueden distinguir, ya que están en diferentes modos, y por lo tanto un estado de cúbit se puede representar usando un solo fotón en dos modos, vertical (V) y horizontal (H): por ejemplo,${\displaystyle |0\rangle \equiv |0,1\rangle _{VH}}$y${\displaystyle |1\rangle \equiv |1,0\rangle _{VH}}$Es común referirse a los estados definidos mediante la ocupación de modos como estados de Fock .

Estas notaciones son útiles en computación cuántica , comunicación cuántica y criptografía cuántica . Por ejemplo, es muy fácil considerar la pérdida de un solo fotón utilizando estas notaciones, simplemente agregando el estado de vacío.${\displaystyle |0,0\rangle _{VH}}$que contienen cero fotones en esos dos modos. Como otro ejemplo, cuando se tienen dos fotones en dos modos separados (por ejemplo, dos intervalos de tiempo o dos brazos de un interferómetro ), es fácil describir un estado entrelazado de los dos fotones. El estado singlete (dos fotones enlazados con número cuántico de espín global${\displaystyle s=0}$) se puede describir de la siguiente manera: si${\displaystyle |1,0\rangle _{VH}^{a},|0,1\rangle _{VH}^{a}}$y${\displaystyle |1,0\rangle _{VH}^{b},|0,1\rangle _{VH}^{b}}$describe los estados base de los dos modos separados, entonces el estado singlete es${\displaystyle (|1,0\rangle _{VH}^{a}|0,1\rangle _{VH}^{b}-|0,1\rangle _{VH}^{a}|1,0\rangle _{VH}^{b})/{\sqrt {2}}.}$

En el protocolo KLM, un estado cuántico puede leerse o medirse mediante detectores de fotones en modos seleccionados. Si un fotodetector detecta una señal de fotón en un modo determinado, significa que el estado del modo correspondiente es un estado de un fotón antes de la medición. Como se explica en la propuesta de KLM, ^{[ 1 ]} la pérdida de fotones y la eficiencia de detección influyen drásticamente en la fiabilidad de los resultados de la medición. El problema de fallos correspondiente y los métodos de corrección de errores se describirán más adelante.

En este artículo se utilizará un triángulo apuntando hacia la izquierda en los diagramas de circuitos para representar el operador de lectura de estado. ^{[ 1 ]}

Ignorando la corrección de errores y otros problemas, el principio básico en las implementaciones de puertas cuánticas elementales que utilizan únicamente espejos, divisores de haz y desplazadores de fase es que, mediante el uso de estos elementos ópticos lineales , se puede construir cualquier operación unitaria arbitraria de 1 cúbit; en otras palabras, esos elementos ópticos lineales admiten un conjunto completo de operadores en cualquier cúbit individual.

La matriz unitaria asociada a un divisor de haz${\displaystyle \mathbf {B} _ {\theta,\phi }}$es:

${\displaystyle U(\mathbf {B} _{\theta ,\phi })={\begin{bmatrix}\cos \theta &-e^{i\phi }\sin \theta \\e^{-i\phi }\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}}$,

dónde${\displaystyle \theta }$y${\displaystyle \phi }$están determinadas por la amplitud de reflexión${\displaystyle r}$y la amplitud de transmisión${\displaystyle t}$(La relación se dará más adelante para un caso más simple). Para un divisor de haz simétrico, que tiene un desfase${\displaystyle \phi ={\frac {\pi }{2}}}$bajo la condición de transformación unitaria${\displaystyle |t|^{2}+|r|^{2}=1}$y${\displaystyle t^{*}r+tr^{*}=0}$, se puede demostrar que

${\displaystyle U(\mathbf {B} _{\theta ,\phi ={\frac {\pi }{2}}})={\begin{bmatrix}t&r\\r&t\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-i\sin \theta \\-i\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}=\cos \theta {\hat {I}}-i\sin \theta {\hat {\sigma }}_{x}=e^{-i\theta {\hat {\sigma }}_{x}}}$,

que es una rotación del estado de un solo cúbit alrededor del${\displaystyle x}$eje por${\displaystyle 2\theta =2\cos ^{-1}(|t|)}$en la esfera de Bloch .

Un espejo es un caso especial donde la tasa de reflexión es 1, de modo que el operador unitario correspondiente es una matriz de rotación dada por

${\displaystyle R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}}$.

Para la mayoría de los casos de divisores de haz utilizados en QIP, el ángulo de incidencia${\displaystyle \theta =45^{\circ }}$.

De manera similar, un operador de cambio de fase${\displaystyle \mathbf {P} _ {\phi }}$se asocia con un operador unitario descrito por${\displaystyle U(\mathbf {P} _ {\phi })=e^{i\phi }}$o, si está escrito en formato de 2 modos

${\displaystyle U(\mathbf {P} _{\phi })={\begin{bmatrix}e^{i\phi }&0\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}e^{i\phi /2}&0\\0&e^{-i\phi /2}\end{bmatrix}}{\text{(fase global ignorada)}}=e^{i{\frac {\phi }{2}}{\hat {\sigma }}_{z}}}$,

lo cual es equivalente a una rotación de${\displaystyle -\phi }$sobre el${\displaystyle z}$-eje.

Dado que dos cualesquiera${\displaystyle SU(2)}$Las rotaciones a lo largo de ejes giratorios ortogonales pueden generar rotaciones arbitrarias en la esfera de Bloch, se puede utilizar un conjunto de divisores de haz y espejos simétricos para realizar una rotación arbitraria.${\displaystyle SU(2)}$operadores para QIP. Las figuras a continuación son ejemplos de implementación de una puerta Hadamard y una puerta Pauli-X (puerta NOT) mediante el uso de divisores de haz (ilustrados como rectángulos que conectan dos conjuntos de líneas que se cruzan con parámetros${\displaystyle \theta }$y${\displaystyle \phi }$) y espejos (ilustrados como rectángulos que conectan dos conjuntos de líneas que se cruzan con parámetro${\displaystyle R(\theta )}$).

En las figuras anteriores, un cúbit se codifica utilizando dos canales de modo (líneas horizontales):${\displaystyle \left\vert 0\right\rangle }$representa un fotón en el modo superior, y${\displaystyle \left\vert 1\right\rangle }$representa un fotón en el modo inferior.

En el esquema KLM, la manipulación de cúbits se realiza mediante una serie de operaciones no deterministas con probabilidad de éxito creciente. La primera mejora a esta implementación que se analizará es la puerta de inversión de signo condicional no determinista.

Un elemento importante del esquema KLM es la puerta de inversión de signo condicional o no lineal ( puerta NS ), como se muestra en la figura inferior derecha. Esta puerta produce un desplazamiento de fase no lineal en un modo condicionado a dos modos auxiliares.

En la imagen de la derecha, las etiquetas a la izquierda del cuadro inferior indican los modos. La salida se acepta solo si se detecta un fotón en el modo 2 y cero fotones en el modo 3, donde los modos auxiliares 2 y 3 se preparan como${\displaystyle |1,0\rangle _{2,3}}$estado. El subíndice${\displaystyle x}$es el desplazamiento de fase de la salida, y está determinado por los parámetros de los elementos ópticos internos elegidos. ^{[ 1 ]} Para${\displaystyle x=-1}$En este caso, se utilizan los siguientes parámetros:${\displaystyle \theta _{1}=22.5^{\circ }}$,${\displaystyle \phi _{1}=0^{\circ }}$,${\displaystyle \theta _{2}=65.5302^{\circ }}$,${\displaystyle \phi _{2}=0^{\circ }}$,${\displaystyle \theta _{3}=-22.5^{\circ }}$,${\displaystyle \phi _{3}=0^{\circ }}$, y${\displaystyle \phi _{4}=180^{\circ }}$. Para el${\displaystyle x=e^{i\pi /2}}$En este caso, los parámetros se pueden elegir como${\displaystyle \theta _{1}=36.53^{\circ }}$,${\displaystyle \phi _{1}=88,24^{\circ }}$,${\displaystyle \theta _{2}=62.25^{\circ }}$,${\displaystyle \phi _{2}=-66,53^{\circ }}$,${\displaystyle \theta _{3}=-36.53^{\circ }}$,${\displaystyle \phi _{3}=-11,25^{\circ }}$, y${\displaystyle \phi _{4}=102,24^{\circ }}$De manera similar, al cambiar los parámetros de los divisores de haz y los desfasadores, o al combinar múltiples compuertas NS, se pueden crear diversas compuertas cuánticas. Al compartir dos modos auxiliares, Knill inventó la siguiente compuerta Z controlada (véase la figura de la derecha) con una tasa de éxito de 2/27. ^{[ 5 ]}

La ventaja de usar puertas NS es que la salida puede garantizarse procesada condicionalmente con una tasa de éxito que puede mejorarse a casi 1. Usando la configuración como se muestra en la figura de arriba a la derecha, la tasa de éxito de una${\displaystyle x=-1}$La puerta NS es${\displaystyle 1/4}$Para mejorar aún más la tasa de éxito y resolver el problema de escalabilidad, es necesario utilizar la teletransportación de puertas, que se describe a continuación.

Dado el uso de puertas cuánticas no deterministas para KLM, puede haber solo una probabilidad muy pequeña.${\displaystyle p^{N}}$que un circuito con${\displaystyle N}$puertas con una posibilidad de éxito de una sola puerta${\displaystyle p}$funcionará perfectamente al ejecutar el circuito una vez. Por lo tanto, las operaciones deben repetirse en promedio en el orden de${\displaystyle p^{-N}}$veces o${\displaystyle p^{-N}}$Estos sistemas deben ejecutarse en paralelo. En cualquier caso, el tiempo o los recursos del circuito necesarios aumentan exponencialmente. En 1999, Gottesman y Chuang señalaron que se pueden preparar las compuertas probabilísticas fuera de línea del circuito cuántico mediante teletransportación cuántica . ^{[ 4 ]} La idea básica es que cada compuerta probabilística se prepara fuera de línea y la señal de evento exitoso se teletransporta de vuelta al circuito cuántico. En la figura de la derecha se muestra una ilustración de la teletransportación cuántica. Como se puede observar, el estado cuántico en el modo 1 se teletransporta al modo 3 a través de una medición de Bell y un estado de Bell de recurso entrelazado.${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|01\rangle +|10\rangle )}$, donde el estado 1 puede considerarse preparado fuera de línea.

El recurso Bell estado${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle }$puede generarse a partir del estado${\displaystyle |10\rangle }$mediante el uso de un espejo con parámetro${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{4}}.}$

Mediante el uso de la teletransportación, se pueden preparar muchas puertas probabilísticas en paralelo con${\displaystyle n}$- estados entrelazados de fotones , enviando una señal de control al modo de salida. Mediante el uso${\displaystyle n}$puertas probabilísticas en paralelo fuera de línea, una tasa de éxito de${\displaystyle {\frac {n^{2}}{(n+1)^{2}}}}$se puede obtener, que es cercano a 1 como${\displaystyle n}$se vuelve grande. El número de compuertas necesarias para lograr una cierta precisión aumenta de forma polinómica en lugar de exponencial. En este sentido, el protocolo KLM es eficiente en el uso de recursos. En 2011 se demostró un experimento que utilizaba la compuerta NOT controlada propuesta originalmente por KLM con entrada de cuatro fotones, ^{[ 6 ]} y dio una fidelidad promedio de${\displaystyle F=0.82\pm 0.01}$.

Como se mencionó anteriormente, la probabilidad de éxito de las puertas de teletransportación se puede hacer arbitrariamente cercana a 1 preparando estados entrelazados más grandes . Sin embargo, la aproximación asintótica a la probabilidad de 1 es bastante lenta con respecto al número de fotones.${\displaystyle n}$. Un enfoque más eficiente es codificar contra fallas de puerta (error) basado en el modo de falla bien definido de los teletransportadores. En el protocolo KLM, la falla del teletransportador se puede diagnosticar si cero o${\displaystyle n+1}$Se detectan fotones. Si el dispositivo informático puede codificarse para evitar mediciones accidentales de un cierto número de fotones, entonces será posible corregir fallos en la puerta lógica y aumentará la probabilidad de aplicarla con éxito.

Se han realizado numerosos ensayos experimentales basados ​​en esta idea (véanse, por ejemplo, las referencias ^{[ 7 ] , [ 8 ] y [ 9 ]} ). Sin embargo, aún se requiere un gran número de operaciones para alcanzar una probabilidad de éxito muy cercana a 1. Para que el protocolo KLM se consolide como una tecnología viable, se necesitan puertas cuánticas más eficientes. Este es el tema de la siguiente sección.