Distribución K

En probabilidad y estadística , la distribución K generalizada es una familia de tres parámetros de distribuciones de probabilidad continuas. La distribución surge de la combinación de dos distribuciones gamma . En cada caso, se utiliza una re-parametrización de la forma habitual de la familia de distribuciones gamma, de modo que los parámetros sean:

• la media de la distribución,
• el parámetro de forma habitual.

La distribución K es un caso especial de la distribución de varianza-gamma , que a su vez es un caso especial de la distribución hiperbólica generalizada . Un caso especial más simple de la distribución K generalizada se conoce a menudo como distribución K.

Supongamos que una variable aleatoria tiene una distribución gamma con media y parámetro de forma , y se la trata como una variable aleatoria que tiene otra distribución gamma, esta vez con media y parámetro de forma . El resultado es que tiene la siguiente función de densidad de probabilidad (pdf) para : ^[1]${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización \sigma}$${\estilo de visualización \alpha}$${\estilo de visualización \sigma}$${\estilo de visualización \mu}$${\estilo de visualización \beta}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle x>0}$

${\displaystyle f_{X}(x;\mu,\alpha,\beta)={\frac {2}{\Gamma (\alpha)\Gamma (\beta)}}\,\left({\frac {\alpha \beta}\mu}}\right)^{\frac {\alpha +\beta}\,x^{{\frac {\alpha +\beta}-1}K_{\alpha -\beta}\left(2{\sqrt {\frac {\alpha \beta x}{\mu}}}\right),}$

donde es una función de Bessel modificada de segundo tipo. Nótese que para la función de Bessel modificada de segundo tipo, tenemos . En esta derivación, la distribución K es una distribución de probabilidad compuesta . También es una distribución de producto : ^[1] es la distribución del producto de dos variables aleatorias independientes, una que tiene una distribución gamma con media 1 y parámetro de forma , la segunda que tiene una distribución gamma con media y parámetro de forma . ${\estilo de visualización K}$${\displaystyle K_{\nu }=K_{-\nu }}$${\estilo de visualización \alpha}$${\estilo de visualización \mu}$${\estilo de visualización \beta}$

Se puede obtener una formalización más simple de dos parámetros de la distribución K estableciendo como ^{[2] [3]}${\displaystyle \beta = 1}$

${\displaystyle f_{X}(x;b,v)={\frac {2b}{\Gamma (v)}}\left({\sqrt {bx}}\right)^{v-1}K_{v-1}(2{\sqrt {bx}}),}$

donde es el factor de forma, es el factor de escala y es la función de Bessel modificada de segundo tipo. La formalización de dos parámetros anterior también se puede obtener estableciendo , , y , aunque con una interpretación física diferente de los parámetros y . Esta formalización de dos parámetros a menudo se conoce como distribución K, mientras que la formalización de tres parámetros se conoce como distribución K generalizada. ${\displaystyle v=\alpha}$${\displaystyle b=\alpha /\mu }$${\estilo de visualización K}$${\displaystyle \alpha = 1}$${\displaystyle v=\beta}$${\displaystyle b=\beta /\mu}$${\estilo de visualización b}$${\estilo de visualización v}$

Esta distribución se deriva de un artículo de Eric Jakeman y Peter Pusey (1978) que la utilizaron para modelar el eco marino de microondas. ^[4] Jakeman y Tough (1987) derivaron la distribución a partir de un modelo de paseo aleatorio sesgado. ^[5] Keith D. Ward (1981) derivó la distribución a partir del producto de dos variables aleatorias, z = a y , donde a tiene una distribución chi e y una distribución gaussiana compleja. El módulo de z , |z| , tiene entonces una distribución K. ^[6]

La función generadora de momentos está dada por ^[7]

${\displaystyle M_{X}(s)=\left({\frac {\xi }{s}}\right)^{\beta /2}\exp \left({\frac {\xi }{2s}}\right)W_{-\delta /2,\gamma /2}\left({\frac {\xi }{s}}\right),}$

donde y es la función de Whittaker . ${\displaystyle \gamma =\beta -\alpha ,}$ ${\displaystyle \delta =\alpha +\beta -1,}$ ${\displaystyle \xi =\alpha \beta /\mu ,}$${\displaystyle W_{-\delta /2,\gamma /2}(\cdot )}$

Los momentos n-ésimos de la distribución K están dados por ^[1]

${\displaystyle \mu _{n}=\xi ^{-n}{\frac {\Gamma (\alpha +n)\Gamma (\beta +n)}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}.}$

Por lo tanto, la media y la varianza se dan por ^[1]

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\mu }$

${\displaystyle \operatorname {var} (X)=\mu ^{2}{\frac {\alpha +\beta +1}{\alpha \beta }}.}$

Todas las propiedades de la distribución son simétricas en y ^[1]${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta .}$

La distribución K surge como consecuencia de un modelo estadístico o probabilístico utilizado en imágenes de radar de apertura sintética (SAR). La distribución K se forma combinando dos distribuciones de probabilidad independientes , una que representa la sección transversal del radar y la otra que representa el moteado, una característica de las imágenes coherentes. También se utiliza en las comunicaciones inalámbricas para modelar efectos compuestos de sombreado y desvanecimiento rápido.

• Redding, Nicholas J. (1999), Estimación de los parámetros de la distribución K en el dominio de la intensidad (PDF) , Australia del Sur: DSTO Electronics and Surveillance Laboratory, pág. 60, DSTO-TR-0839
• Bocquet, Stephen (2011), Cálculo de la probabilidad de detección por radar en el mar con distribución K de ruido y ecos parásitos (PDF) , Canberra, Australia: División de Operaciones Conjuntas, Organización de Ciencia y Tecnología de Defensa DSTO, pág. 35, DSTO-TR-0839
• Jakeman, Eric; Pusey, Peter N. (27 de febrero de 1978). "Significado de las distribuciones K en experimentos de dispersión". Physical Review Letters . 40 (9). American Physical Society (APS): 546– 550. Bibcode :1978PhRvL..40..546J. doi :10.1103/physrevlett.40.546. ISSN  0031-9007.
• Jakeman, Eric; Tough, Robert JA (1987-09-01). "Distribución K generalizada: un modelo estadístico para dispersión débil". Revista de la Sociedad Óptica de América A . 4 (9). The Optical Society: 1764-1772. Bibcode :1987JOSAA...4.1764J. doi :10.1364/josaa.4.001764. ISSN  1084-7529.
• Ward, Keith D. (1981). "Representación compuesta de ruidos marinos de alta resolución". Electronics Letters . 17 (16). Institution of Engineering and Technology (IET): 561-565. Bibcode :1981ElL....17..561W. doi :10.1049/el:19810394. ISSN  0013-5194.
• Bithas, Petros S.; Sagias, Nikos C.; Mathiopoulos, P. Takis; Karagiannidis, George K .; Rontogiannis, Athanasios A. (2006). "Sobre el análisis del rendimiento de las comunicaciones digitales en canales con desvanecimiento k generalizado". IEEE Communications Letters . 10 (5). Instituto de Ingenieros Eléctricos y Electrónicos (IEEE): 353– 355. CiteSeerX  10.1.1.725.7998 . doi :10.1109/lcomm.2006.1633320. ISSN  1089-7798. S2CID  4044765.
• Long, Maurice W. (2001). Reflectividad de radar en tierra y mar (3.ª ed.). Norwood, MA: Artech House. pág. 560.

• Jakeman, Eric (1980-01-01). "Sobre las estadísticas del ruido distribuido en K". Journal of Physics A: Mathematical and General . 13 (1). IOP Publishing: 31– 48. Bibcode :1980JPhA...13...31J. doi :10.1088/0305-4470/13/1/006. ISSN  0305-4470.
• Ward, Keith D.; Tough, Robert J. A; Watts, Simon (2006) Sea Clutter: Scattering, the K Distribution and Radar Performance , Institución de Ingeniería y Tecnología. ISBN 0-86341-503-2 .