Función k-convexa

Las funciones K -convexas , introducidas por primera vez por Scarf ^[1], sonun debilitamiento especial del concepto de función convexa que es crucial en la prueba de la optimalidad de lapolítica en la teoría de control de inventario . La política se caracteriza por dos números s y S ,, tales que cuando el nivel de inventario cae por debajo del nivel s , se emite un pedido por una cantidad que lleva el inventario hasta el nivel S , y no se ordena nada en caso contrario. Gallego y Sethi ^[2] han generalizado el concepto de K -convexidad a espacios euclidianos de dimensión superior. ${\estilo de visualización (s,S)}$${\displaystyle S\geq s}$

Dos definiciones equivalentes son las siguientes:

Sea K un número real no negativo. Una función es K -convexa si ${\displaystyle g:\mathbb {R}\rightarrow\mathbb {R}}$

${\displaystyle g(u)+z\left[{\frac {g(u)-g(ub)}{b}}\right]\leq g(u+z)+K}$

para cualquier y . ${\displaystyle u,z\geq 0,}$${\displaystyle b>0}$

Una función es K -convexa si ${\displaystyle g:\mathbb {R}\rightarrow\mathbb {R}}$

${\displaystyle g(\lambda x+{\bar {\lambda }}y)\leq \lambda g(x)+{\bar {\lambda }}[g(y)+K]}$

para todos , donde . ${\displaystyle x\leq y,\lambda \en [0,1]}$${\displaystyle {\bar {\lambda}}=1-\lambda}$

Esta definición admite una interpretación geométrica simple relacionada con el concepto de visibilidad. ^[3] Sea . Se dice que un punto es visible desde si todos los puntos intermedios se encuentran debajo del segmento de línea que une estos dos puntos. Entonces la caracterización geométrica de la K -convexidad puede obtenerse como: ${\displaystyle a\geq 0}$${\estilo de visualización (x,f(x))}$${\displaystyle (y,f(y)+a)}$${\displaystyle (\lambda x+{\bar {\lambda }}y,f(\lambda x+{\bar {\lambda }}y)),0\leq \lambda \leq 1}$

Una función es K -convexa si y solo si es visible desde para todo .${\estilo de visualización g}$${\estilo de visualización (x,g(x))}$${\displaystyle (y,g(y)+K)}$${\displaystyle y\geq x}$

Es suficiente demostrar que las definiciones anteriores pueden transformarse entre sí. Esto se puede ver utilizando la transformación

${\displaystyle \lambda =z/(b+z),\quad x=ub,\quad y=u+z.}$

^[4]

Si es K -convexo, entonces es L -convexo para cualquier . En particular, si es convexo, entonces también es K -convexo para cualquier . ${\displaystyle g:\mathbb {R}\rightarrow\mathbb {R}}$${\displaystyle L\geq K}$${\estilo de visualización g}$${\displaystyle K\geq 0}$

Si es K -convexo y es L -convexo, entonces para es -convexo. $estilo de visualización g_{1}$$estilo de visualización g_{2}$${\displaystyle \alpha \geq 0,\beta \geq 0,\;g=\alpha g_{1}+\beta g_{2}}$${\displaystyle (\alfa K+\beta L)}$

Si es K -convexo y es una variable aleatoria tal que para todo , entonces también es K -convexo. ${\estilo de visualización g}$${\estilo de visualización \xi}$${\displaystyle E|g(x-\xi )|<\infty }$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle Eg(x-\xi )}$

Si es K -convexo, la restricción de en cualquier conjunto convexo es K -convexo. ${\displaystyle g:\mathbb {R}\rightarrow\mathbb {R}}$${\estilo de visualización g}$${\displaystyle \mathbb {D} \subconjunto \mathbb {R} }$

Si es una función K -convexa continua y como , entonces existen escalares y con tales que ${\displaystyle g:\mathbb {R}\rightarrow\mathbb {R}}$${\displaystyle g(y)\rightarrow \infty }$${\displaystyle |y|\rightarrow \infty }$${\estilo de visualización s}$${\estilo de visualización S}$${\displaystyle s\leq S}$

• ${\displaystyle g(S)\leq g(y)}$, para todos ;${\displaystyle y\in \mathbb {R}}$
• ${\displaystyle g(S)+K=g(s)<g(y)}$, para todos ;${\displaystyle y<s}$
• ${\displaystyle g(y)}$es una función decreciente en ;${\displaystyle (-\infty ,s)}$
• ${\displaystyle g(y)\leq g(z)+K}$Para todos con .${\estilo de visualización y,z}$${\displaystyle s\leq y\leq z}$

• Gallego, G.; Sethi, SP (2005). " K {\displaystyle {\mathcal {K}}} -convexidad en R n {\displaystyle {\mathfrak {R}}^{n}} " (PDF) . Revista de teoría y aplicaciones de la optimización . 127 (1): 71–88. doi :10.1007/s10957-005-6393-4. MR  2174750.