Teorema de la curva de Jordan

En topología , el teorema de la curva de Jordan , formulado por Camille Jordan en 1887, afirma que cada curva de Jordan (una curva plana cerrada simple) divide el plano en una región " interior " limitada por la curva y una región " exterior " que contiene todos los puntos exteriores cercanos y lejanos. Todo camino continuo que conecta un punto de una región con un punto de la otra se interseca con la curva en algún lugar. Si bien el teorema parece intuitivamente obvio, se necesita algo de ingenio para demostrarlo por medios elementales. "Aunque el JCT es uno de los teoremas topológicos más conocidos, hay muchos, incluso entre los matemáticos profesionales, que nunca han leído una demostración del mismo" (Tverberg (1980, Introducción)). Las demostraciones más transparentes se basan en la maquinaria matemática de la topología algebraica , y estas conducen a generalizaciones a espacios de dimensiones superiores.

El teorema de la curva de Jordan recibe su nombre del matemático Camille Jordan (1838-1922), quien publicó su primera demostración en 1887. ^{[1] [2]} Durante décadas, los matemáticos generalmente pensaron que esta demostración era defectuosa y que la primera demostración rigurosa fue realizada por Oswald Veblen . Sin embargo, esta noción ha sido refutada por Thomas C. Hales y otros. ^[3]

Una curva de Jordan o una curva cerrada simple en el plano R ² es la imagen C de una función inyectiva continua de un círculo en el plano, φ : S ¹ → R ² . Un arco de Jordan en el plano es la imagen de una función inyectiva continua de un intervalo cerrado y acotado [ a , b ] en el plano. Es una curva plana que no es necesariamente suave ni algebraica .

Alternativamente, una curva de Jordan es la imagen de una función continua φ : [0,1] → R ² tal que φ (0) = φ (1) y la restricción de φ a [0,1) es inyectiva. Las dos primeras condiciones indican que C es un bucle continuo, mientras que la última condición estipula que C no tiene puntos de autointersección.

Con estas definiciones, el teorema de la curva de Jordan puede enunciarse de la siguiente manera:

Por el contrario, el complemento de un arco de Jordan en el plano está conexo.

El teorema de la curva de Jordan fue generalizado independientemente a dimensiones superiores por H. Lebesgue y L. E. J. Brouwer en 1911, dando como resultado el teorema de separación de Jordan-Brouwer .

La prueba utiliza la teoría de homología . En primer lugar, se establece que, de manera más general, si X es homeomorfo a la k -esfera, entonces los grupos de homología integrales reducidos de Y = R ^{n +1} \ X son los siguientes:

$${\displaystyle {\tilde {H}}_{q}(Y)={\begin{cases}\mathbb {Z} ,&q=nk{\text{ o }}q=n,\\\{0\},&{\text{de lo contrario}}.\end{cases}}}$$

Esto se demuestra por inducción en k usando la secuencia de Mayer–Vietoris . Cuando n = k , la homología reducida cero de Y tiene rango 1, lo que significa que Y tiene 2 componentes conexos (que, además, están conexos por trayectorias ), y con un poco de trabajo extra, se demuestra que su límite común es X. JW Alexander encontró una generalización adicional , quien estableció la dualidad de Alexander entre la homología reducida de un subconjunto compacto X de R ^{n +1} y la cohomología reducida de su complemento. Si X es una subvariedad conexa compacta n -dimensional de R ^{n +1} (o S ^{n +1} ) sin límite, su complemento tiene 2 componentes conexos.

Existe un fortalecimiento del teorema de la curva de Jordan, llamado teorema de Jordan-Schönflies , que establece que las regiones planas interior y exterior determinadas por una curva de Jordan en R ² son homeomorfas al interior y exterior del disco unitario . En particular, para cualquier punto P en la región interior y un punto A en la curva de Jordan, existe un arco de Jordan que conecta P con A y, con la excepción del punto final A , se encuentra completamente en la región interior. Una formulación alternativa y equivalente del teorema de Jordan-Schönflies afirma que cualquier curva de Jordan φ : S ¹ → R ² , donde S ¹ se considera como el círculo unitario en el plano, se puede extender a un homeomorfismo ψ : R ² → R ² del plano. A diferencia de la generalización de Lebesgue y Brouwer del teorema de la curva de Jordan, esta afirmación se vuelve falsa en dimensiones superiores: mientras que el exterior de la bola unitaria en R ³ está simplemente conexo , porque se retrae sobre la esfera unitaria, la esfera con cuernos de Alexander es un subconjunto de R ³ homeomorfo a una esfera , pero tan retorcido en el espacio que el componente ilimitado de su complemento en R ³ no está simplemente conexo y, por lo tanto, no es homeomorfo al exterior de la bola unitaria.

El teorema de la curva de Jordan se puede demostrar a partir del teorema del punto fijo de Brouwer (en 2 dimensiones), ^[4] y el teorema del punto fijo de Brouwer se puede demostrar a partir del teorema de Hex: "cada juego de Hex tiene al menos un ganador", de donde obtenemos una implicación lógica: el teorema de Hex implica el teorema del punto fijo de Brouwer, que implica el teorema de la curva de Jordan. ^[5]

Está claro que el teorema de la curva de Jordan implica el "teorema Hex fuerte": "cada juego de Hex termina con exactamente un ganador, sin posibilidad de que ambos lados pierdan o ambos lados ganen", por lo tanto, el teorema de la curva de Jordan es equivalente al teorema Hex fuerte, que es un teorema puramente discreto .

El teorema del punto fijo de Brouwer, al estar intercalado entre los dos teoremas equivalentes, también es equivalente a ambos. ^[6]

En matemáticas inversas y matemáticas formalizadas por computadora, el teorema de la curva de Jordan se demuestra comúnmente convirtiéndolo primero en una versión discreta equivalente similar al teorema hexagonal fuerte, y luego demostrando la versión discreta. ^[7]

En el procesamiento de imágenes , una imagen binaria es una cuadrícula discreta de 0 y 1, o equivalentemente, un subconjunto compacto de . Los invariantes topológicos de , como el número de componentes, podrían no estar bien definidos si no tiene una estructura gráfica definida adecuadamente . ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$

Hay dos estructuras gráficas obvias en : ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$

• la "cuadrícula cuadrada de 4 vecinos", donde cada vértice está conectado con .${\estilo de visualización (x,y)}$${\displaystyle (x+1,y),(x-1,y),(x,y+1),(x,y-1)}$
• la "cuadrícula cuadrada de 8 vecinos", donde cada vértice está conectado con ff y ff .${\estilo de visualización (x,y)}$${\estilo de visualización (x',y')}$${\displaystyle |xx'|\leq 1,|yy'|\leq 1}$${\displaystyle (x,y)\neq (x',y')}$

Ninguna de las dos estructuras de grafos satisface el teorema hexagonal fuerte. La cuadrícula cuadrada de 4 vecinos permite una situación en la que no hay ganadores, y la cuadrícula cuadrada de 8 vecinos permite una situación en la que hay dos ganadores. En consecuencia, las propiedades de conectividad en , como el teorema de la curva de Jordan, no se generalizan a ninguna de las dos estructuras de grafo. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$

Si se impone la estructura de "cuadrícula de 6 vecinos" a , entonces es la cuadrícula hexagonal y, por lo tanto, satisface el teorema Hex fuerte, lo que permite generalizar el teorema de la curva de Jordan. Por esta razón, al calcular componentes conectados en una imagen binaria, generalmente se utiliza la cuadrícula de 6 vecinos. ^[8]${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$

El teorema del tablero de ajedrez de Steinhaus muestra en cierto sentido que la cuadrícula de 4 vecinos y la cuadrícula de 8 vecinos "juntas" implican el teorema de la curva de Jordan, y la cuadrícula de 6 vecinos es una interpolación precisa entre ellas. ^{[9] [10]}

El teorema establece que: supongamos que colocas bombas en algunas casillas de un tablero de ajedrez, de modo que un rey no puede moverse del lado inferior al lado superior sin pisar una bomba, entonces una torre puede moverse del lado izquierdo al lado derecho pisando solo bombas. ${\displaystyle n\veces n}$

El enunciado del teorema de la curva de Jordan puede parecer obvio a primera vista, pero es un teorema bastante difícil de demostrar. Bernard Bolzano fue el primero en formular una conjetura precisa, observando que no era un enunciado evidente por sí mismo, sino que requería una demostración. ^[11] Es fácil establecer este resultado para polígonos , pero el problema vino al generalizarlo a todo tipo de curvas de mal comportamiento, que incluyen curvas que no son diferenciables en ninguna parte , como el copo de nieve de Koch y otras curvas fractales , o incluso una curva de Jordan de área positiva construida por Osgood (1903).

La primera demostración de este teorema fue dada por Camille Jordan en sus conferencias sobre análisis real , y fue publicada en su libro Cours d'analyse de l'École Polytechnique . ^[1] Existe cierta controversia sobre si la demostración de Jordan fue completa: la mayoría de los comentaristas han afirmado que la primera demostración completa fue dada más tarde por Oswald Veblen , quien dijo lo siguiente sobre la demostración de Jordan:

Sin embargo, su demostración no satisface a muchos matemáticos, ya que supone el teorema sin demostración en el importante caso especial de un polígono simple, y a partir de ese punto hay que admitir al menos que no se dan todos los detalles del argumento. ^[12]

Sin embargo, Thomas C. Hales escribió:

Casi todas las citas modernas que he encontrado coinciden en que la primera prueba correcta se debe a Veblen... En vista de las fuertes críticas a la prueba de Jordan, me sorprendí cuando me senté a leer su prueba y no encontré nada objetable en ella. Desde entonces, me he puesto en contacto con varios autores que han criticado a Jordan, y en cada caso el autor ha admitido no tener conocimiento directo de un error en la prueba de Jordan. ^[13]

Hales también señaló que el caso especial de polígonos simples no sólo es un ejercicio fácil, sino que de todos modos Jordan no lo utilizaba mucho, y citó a Michael Reeken diciendo:

La prueba de Jordan es esencialmente correcta... La prueba de Jordan no presenta los detalles de una manera satisfactoria. Pero la idea es correcta y, con un poco de pulido, la prueba sería impecable. ^[14]

Anteriormente, la prueba de Jordan y otra prueba temprana de Charles Jean de la Vallée Poussin ya habían sido analizadas críticamente y completadas por Schoenflies (1924). ^[15]

Debido a la importancia del teorema de la curva de Jordan en la topología de baja dimensión y el análisis complejo , recibió mucha atención de los matemáticos prominentes de la primera mitad del siglo XX. Varias demostraciones del teorema y sus generalizaciones fueron construidas por J. W. Alexander , Louis Antoine , Ludwig Bieberbach , Luitzen Brouwer , Arnaud Denjoy , Friedrich Hartogs , Béla Kerékjártó , Alfred Pringsheim y Arthur Moritz Schoenflies .

Se siguen realizando nuevas demostraciones elementales del teorema de la curva de Jordan, así como simplificaciones de las demostraciones anteriores.

• Filippov (1950) y Tverberg (1980) presentaron pruebas elementales.
• Una prueba que utiliza análisis no estándar de Narens (1971).
• Una prueba que utiliza matemáticas constructivas por Gordon O. Berg, W. Julian y R. Mines et al. (1975).
• Una prueba que utiliza el teorema del punto fijo de Brouwer por Maehara (1984).
• Thomassen (1992) presentó una prueba que utiliza la no planaridad del gráfico bipartito completo K _{3,3 .}

La raíz de la dificultad se explica en Tverberg (1980) de la siguiente manera. Es relativamente sencillo demostrar que el teorema de la curva de Jordan se cumple para cada polígono de Jordan (Lema 1), y cada curva de Jordan puede aproximarse arbitrariamente bien mediante un polígono de Jordan (Lema 2). Un polígono de Jordan es una cadena poligonal , el límite de un conjunto abierto conexo acotado , llamémoslo polígono abierto, y su clausura , el polígono cerrado. Consideremos el diámetro del disco más grande contenido en el polígono cerrado. Evidentemente, es positivo. Usando una secuencia de polígonos de Jordan (que convergen a la curva de Jordan dada) tenemos una secuencia que presumiblemente converge a un número positivo, el diámetro del disco más grande contenido en la región cerrada acotada por la curva de Jordan. Sin embargo, tenemos que demostrar que la secuencia no converge a cero, usando solo la curva de Jordan dada, no la región presumiblemente acotada por la curva. Este es el punto del Lema 3 de Tverberg. Aproximadamente, los polígonos cerrados no deberían estrecharse a cero en todas partes. Además, no deberían reducirse hasta cero en algún punto, que es el objetivo del Lema 4 de Tverberg. ${\estilo de visualización \delta}$${\estilo de visualización \delta}$${\displaystyle \delta _{1},\delta _{2},\puntos }$ ${\estilo de visualización \delta}$${\displaystyle \delta _{1},\delta _{2},\puntos }$

La primera prueba formal del teorema de la curva de Jordan fue creada por Hales (2007a) en el sistema HOL Light , en enero de 2005, y contenía alrededor de 60.000 líneas. Otra prueba formal rigurosa de 6.500 líneas fue producida en 2005 por un equipo internacional de matemáticos utilizando el sistema Mizar . Tanto la prueba de Mizar como la de HOL Light se basan en bibliotecas de teoremas probados previamente, por lo que estos dos tamaños no son comparables. Nobuyuki Sakamoto y Keita Yokoyama (2007) demostraron que en matemáticas inversas el teorema de la curva de Jordan es equivalente al lema débil de Kőnig sobre el sistema . ${\displaystyle {\mathsf {RCA}}_{0}}$

En geometría computacional , el teorema de la curva de Jordan se puede utilizar para comprobar si un punto se encuentra dentro o fuera de un polígono simple . ^{[16] [17] [18]}

Desde un punto dado, traza un rayo que no pase por ningún vértice del polígono (todos los rayos, excepto un número finito, son convenientes). Luego, calcula el número n de intersecciones del rayo con una arista del polígono. La demostración del teorema de la curva de Jordan implica que el punto está dentro del polígono si y solo si n es impar .

Adler, Daskalakis y Demaine ^[19] demuestran que una versión computacional del teorema de Jordan es PPAD-completa . Como corolario, muestran que el teorema de Jordan implica el teorema del punto fijo de Brouwer . Esto complementa el resultado anterior de Maehara, de que el teorema del punto fijo de Brouwer implica el teorema de Jordan. ^[20]

• Teorema de Denjoy-Riesz , una descripción de ciertos conjuntos de puntos en el plano que pueden ser subconjuntos de las curvas de Jordan
• Lagos de Wada
• Grupo cuasi-fucsiano , un grupo matemático que conserva una curva de Jordan

• Berg, Gordon O.; Julian, W.; Mines, R.; Richman, Fred (1975), "El teorema de la curva de Jordan constructiva", Rocky Mountain Journal of Mathematics , 5 (2): 225–236, doi : 10.1216/RMJ-1975-5-2-225 , ISSN  0035-7596, MR  0410701
• Courant, Richard (1978). "V. Topología". Escrito en Oxford. ¿Qué son las matemáticas? : un enfoque elemental de ideas y métodos . Herbert Robbins ([4ª ed.] ed.). Reino Unido: Oxford University Press. p. 267. ISBN 978-0-19-502517-0.OCLC 6450129  .
• Filippov, AF (1950), "Una demostración elemental del teorema de Jordan" (PDF) , Uspekhi Mat. Nauk (en ruso), 5 (5): 173–176
• Hales, Thomas C. (2007a), "El teorema de la curva de Jordan, formal e informalmente", The American Mathematical Monthly , 114 (10): 882–894, doi :10.1080/00029890.2007.11920481, ISSN  0002-9890, MR  2363054, S2CID  887392
• Hales, Thomas (2007b), "La prueba de Jordan del teorema de la curva de Jordan" (PDF) , Estudios en lógica, gramática y retórica , 10 (23)
• Jordan, Camille (1887), Cours d'analyse (PDF) , págs. 587–594
• Maehara, Ryuji (1984), "El teorema de la curva de Jordan a través del teorema del punto fijo de Brouwer", The American Mathematical Monthly , 91 (10): 641–643, doi :10.2307/2323369, ISSN  0002-9890, JSTOR  2323369, MR  0769530
• Narens, Louis (1971), "Una prueba no estándar del teorema de la curva de Jordan", Pacific Journal of Mathematics , 36 : 219–229, doi : 10.2140/pjm.1971.36.219 , ISSN  0030-8730, MR  0276940
• Osgood, William F. (1903), "Una curva de Jordan de área positiva", Transactions of the American Mathematical Society , 4 (1): 107–112, doi : 10.2307/1986455 , ISSN  0002-9947, JFM  34.0533.02, JSTOR  1986455
• Ross, Fiona; Ross, William T. (2011), "El teorema de la curva de Jordan no es trivial", Journal of Mathematics and the Arts , 5 (4): 213–219, doi :10.1080/17513472.2011.634320, S2CID  3257011. sitio del autor
• Sakamoto, Nobuyuki; Yokoyama, Keita (2007), "El teorema de la curva de Jordan y el teorema de Schönflies en aritmética débil de segundo orden", Archive for Mathematical Logic , 46 (5): 465–480, doi :10.1007/s00153-007-0050-6, ISSN  0933-5846, MR  2321588, S2CID  33627222
• Thomassen, Carsten (1992), "El teorema de Jordan-Schönflies y la clasificación de superficies", American Mathematical Monthly , 99 (2): 116–130, doi :10.2307/2324180, JSTOR  2324180
• Tverberg, Helge (1980), "Una prueba del teorema de la curva de Jordan" (PDF) , Boletín de la Sociedad Matemática de Londres , 12 (1): 34–38, CiteSeerX  10.1.1.374.2903 , doi :10.1112/blms/12.1.34
• Veblen, Oswald (1905), "Teoría de curvas planas en análisis no métricos", Transactions of the American Mathematical Society , 6 (1): 83–98, doi : 10.2307/1986378 , JSTOR  1986378, MR  1500697

• MI Voitsekhovskii (2001) [1994], "Teorema de Jordan", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• La prueba formal completa de 6.500 líneas del teorema de la curva de Jordan en Mizar .
• Colección de demostraciones del teorema de la curva de Jordan en la página de inicio de Andrew Ranicki
• Una demostración sencilla del teorema de la curva de Jordan (PDF) de David B. Gauld
• Brown, R.; Antolino-Camarena, O. (2014). "Corrigendum de "Grupoides, la propiedad de Phragmen-Brouwer y el teorema de la curva de Jordan", J. Homotopy and Related Structures 1 (2006) 175-183". arXiv : 1404.0556 [math.AT].