Base de Janet

En matemáticas, una base de Janet es una forma normal para sistemas de ecuaciones diferenciales parciales (EDP) lineales homogéneas que elimina la arbitrariedad inherente a dichos sistemas. Fue introducida en 1920 por Maurice Janet . ^{[ 1 ]} Fritz Schwarz la denominó por primera vez base de Janet en 1998. ^{[ 2 ]}

Los miembros izquierdos de tales sistemas de ecuaciones pueden considerarse como polinomios diferenciales de un anillo, y la forma normal de Janet como una base especial del ideal que generan. Por simplificación, esta terminología se aplicará tanto al sistema original como al ideal de polinomios diferenciales generado por los miembros izquierdos. Una base de Janet es la predecesora de una base de Gröbner introducida por Bruno Buchberger ^{[ 3 ]} para ideales polinomiales. Para generar una base de Janet para cualquier sistema dado de EDP lineales, se debe proporcionar una clasificación de sus derivadas; entonces la base de Janet correspondiente es única. Si un sistema de EDP lineales se da en términos de una base de Janet, su dimensión diferencial se puede determinar fácilmente; es una medida del grado de indeterminación de su solución general. Para generar una descomposición de Loewy de un sistema de EDP lineales, primero se debe determinar su base de Janet.

Cualquier sistema de EDP lineales homogéneas es altamente no único; por ejemplo, se puede agregar una combinación lineal arbitraria de sus elementos al sistema sin cambiar su conjunto de soluciones . A priori, se desconoce si tiene alguna solución no trivial. De manera más general, se desconoce el grado de arbitrariedad de su solución general, es decir, cuántas constantes o funciones indeterminadas puede contener. Estas preguntas fueron el punto de partida del trabajo de Janet; él consideró sistemas de EDP lineales con cualquier número de variables dependientes e independientes y generó una forma normal para ellos. Aquí, principalmente EDP lineales en el plano con las coordenadas${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$se considerará; el número de funciones desconocidas es uno o dos. La mayoría de los resultados descritos aquí pueden generalizarse de manera obvia a cualquier número de variables o funciones. ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} Para generar una representación única para un sistema dado de EDP lineales, primero debe definirse una clasificación de sus derivadas.

Definición : Una clasificación de derivados es un orden total tal que para cualesquiera dos derivados${\displaystyle \delta }$,${\displaystyle \delta _{1}}$y ${\displaystyle \delta _{2}}$y cualquier operador de derivación${\displaystyle \theta }$las relaciones${\displaystyle \delta \leq \theta \delta }$y ${\displaystyle \delta _{1}\leq \delta _{2}\rightarrow \delta \delta _{1}\leq \delta \delta _{2}}$son válidos.

Un derivado${\displaystyle \delta _{2}}$se llama superior a${\displaystyle \delta _{1}}$si${\displaystyle \delta _ {2}>\ delta _ {1}}$La derivada de mayor orden en una ecuación se llama derivada principal . Para las derivadas hasta el segundo orden de una sola función${\displaystyle z}$Dependiendo de${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$con${\displaystyle x>y}$dos posibles órdenes son

la orden LEX${\displaystyle z_{xx}>z_{xy}>z_{x}>z_{yy}>z_{y}>z}$y la orden GRLEX${\displaystyle z_{xx}>z_{xy}>z_{yy}>z_{x}>z_{y}>z}$.

Aquí la notación habitual${\displaystyle \partial _{x}z=z_{x},\partial _{y}z=z_{y},\ldots }$se utiliza. Si el número de funciones es mayor que uno, estos ordenamientos deben generalizarse adecuadamente, por ejemplo, los ordenamientos${\displaystyle TOP}$o${\displaystyle POT}$puede aplicarse. ^{[ 7 ]} La primera operación básica que se debe aplicar para generar una base de Janet es la reducción de una ecuación${\displaystyle e_{1}}$con respecto a otro${\displaystyle e_{2}}$En términos coloquiales esto significa lo siguiente: Siempre que un derivado de${\displaystyle e_{1}}$puede obtenerse a partir del derivado principal de${\displaystyle e_{2}}$mediante una diferenciación adecuada, se realiza esta diferenciación y el resultado se resta de${\displaystyle e_{1}}$La reducción con respecto a un sistema de EDP implica la reducción con respecto a todos los elementos del sistema. Un sistema de EDP lineales se denomina autorreducido si se han realizado todas las reducciones posibles.

La segunda operación básica para generar una base de Janet es la inclusión de condiciones de integrabilidad . Se obtienen de la siguiente manera: Si dos ecuaciones${\displaystyle e_{1}}$y${\displaystyle e_{2}}$son tales que, mediante diferenciaciones adecuadas, se pueden obtener dos nuevas ecuaciones con derivadas principales iguales; mediante la multiplicación cruzada por sus coeficientes principales y la resta de las ecuaciones resultantes, se obtiene una nueva ecuación, denominada condición de integrabilidad. Si, mediante reducción con respecto a las ecuaciones restantes del sistema, no se anula, se incluye como una nueva ecuación en el sistema.

Se puede demostrar que la repetición de estas operaciones siempre finaliza después de un número finito de pasos con una respuesta única, que se denomina base de Janet para el sistema de entrada. Janet las organizó en términos del siguiente algoritmo.

Algoritmo de Janet : Dado un sistema de polinomios diferenciales lineales ${\displaystyle S\equiv \{e_{1},e_{2},\ldots \}}$, la base de Janet correspondiente a${\displaystyle S}$se devuelve.

S1: ( Autorreducción ) Asignar${\displaystyle S:=\operatorname {Autoreduce} (S)}$

S2: ( Finalización ) Asignar${\displaystyle S:=\operatorname {CompleteSystem} (S)}$

S3: ( Condiciones de integrabilidad ) Hallar todos los pares de términos principales${\displaystyle v_{i}}$de${\displaystyle e_{i}}$y${\displaystyle v_{j}}$de${\displaystyle e_{j}}$de tal manera que la diferenciación con respecto a un no multiplicador${\displaystyle x_{i_{k}}}$y multiplicadores ${\displaystyle x_{j_{1}},\ldots ,x_{j_{l}}}$conduce a$${\displaystyle {\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{i_{k}}}}={\frac {\partial ^{p_{1}+\cdots +p_{l}}v_{j}}{\partial x_{j_{1}}^{p_{1}}\cdots \partial x_{j_{l}}^{p_{l}}}}}$$y determinar las condiciones de integrabilidad$${\displaystyle c_{i,j}=\operatorname {Lcoef} (e_{j})\cdot {\frac {\partial e_{i}}{\partial x_{i_{k}}}}-\operatorname {Lcoef} (e_{i})\cdot {\frac {\partial ^{p_{1}+\cdots +p_{l}}e_{j}}{\partial x_{j_{1}}^{p_{1}}\cdots \partial x_{j_{l}}^{p_{l}}}}}$$

S4: ( Reducción de las condiciones de integrabilidad ). Para todos${\displaystyle c_{i,j}}$asignar${\displaystyle c_{i,j}:=\operatorname {Reduce} (c_{i,j},S)}$

S5: (¿ Terminación? ) Si todo${\displaystyle c_{i,j}}$son de retorno cero${\displaystyle S}$De lo contrario, haga la asignación.${\displaystyle S:=S\cup \{c_{i,j}\mid c_{i,j}\neq 0\}}$, reordenar${\displaystyle S}$correctamente y vaya a S1

Aquí${\displaystyle Autoreduce}$es un subalgoritmo que devuelve su argumento con todas las reducciones posibles realizadas,${\displaystyle Finalización}$Se añaden ciertas ecuaciones al sistema para facilitar la determinación de las condiciones de integrabilidad. Para ello, las variables se dividen en multiplicadores y no multiplicadores ; para más detalles, consulte las referencias anteriores. Tras la finalización exitosa, se devolverá una base de Janet para el sistema de entrada.

Ejemplo 1 : Dejemos que el sistema$${\displaystyle \left\{e_{1}\equiv z_{xy}-{\frac {x^{2}}{y^{2}}}z_{x}-{\frac {x-y}{y^{2}}}z=0,e_{2}\equiv z_{x}+{\frac {1}{x}}z_{y}+xz=0\right\}}$$se debe entregar con orden GRLEX y${\displaystyle x>y}$El paso S1 devuelve el sistema autorreducido.

${\displaystyle \left\{e_{3}\equiv z_{yy}+{\frac {1}{y^{2}}}(xy^{3}-x^{2}-y)z_{y}-{\frac {1}{y}}(x^{3}-x+y)z=0,e_{2}=z_{x}+{\frac {1}{y}}z_{y}+xz=0\right\}.}$

Los pasos S3 y S4 generan la condición de integrabilidad.${\displaystyle c_{3,2}\equiv {\frac {\partial e_{3}}{\partial x}}-{\frac {\partial ^{2}e_{2}}{\partial y^{2}}}}$y lo reduce a${\displaystyle z=0}$, es decir, la base de Janet para el sistema dado originalmente es${\displaystyle \{z=0\}}$con la solución trivial${\displaystyle z=0}$.

El siguiente ejemplo involucra dos funciones desconocidas.${\displaystyle w}$y${\displaystyle z}$, ambos dependiendo de${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$.

Ejemplo 2 : Considere el sistema

${\displaystyle {\begin{aligned}{\Big \{}&f_{1}\equiv w_{xx}-2z_{xy}-{\frac {1}{2x}}w_{x}+{\frac {1}{2x^{2}}}w=0,f_{2}\equiv w_{xy}-{\frac {1}{2}}z_{yy}-{\frac {1}{2x}}w_{y}-6x^{2}z_{x},\\[5pt]&f_{3}\equiv w_{yy}+4x^{2}w_{x}-8x^{2}z_{y}-8xw=0,f_{4}\equiv z_{xx}+{\frac {1}{2x}}z_{x}=0{\Big \}}\end{aligned}}}$

en GRLEX,${\displaystyle w>z,x>y}$ordenamiento. El sistema ya está autorreducido, es decir, el paso S1 lo devuelve sin cambios. El paso S3 genera las dos condiciones de integrabilidad.

${\displaystyle c_{1,2}\equiv {\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}-{\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}{\text{ and }}c_{2,3}\equiv {\frac {\partial f_{2}}{\partial y}}-{\frac {\partial f_{3}}{\partial x}}.}$

Tras la reducción en el paso S4, son

${\displaystyle c_{1,2}=z_{xyy}-6xz_{x}=0,c_{2,3}=z_{yyy}+3x^{2}z_{xy}-24xz_{y}-12w=0.}$

En el paso S5 se incluyen en el sistema y el algoritmo comienza de nuevo con el paso S1 con el sistema extendido. Después de algunas iteraciones más, finalmente se obtiene la base de Janet. $${\displaystyle \left\{z_{y}+{\frac {1}{2x}}w=0,z_{x}=0,w_{y}=0,w_{x}-{\frac {1}{x}}w=0\right\}}$$

Se obtiene. Esto da como resultado la solución general.${\displaystyle z=C_{1}-C_{2}y,w=2C_{2}x}$con dos constantes indeterminadas${\displaystyle C_{1}}$y${\displaystyle C_{2}}$.

La aplicación más importante de una base de Janet es su uso para determinar el grado de indeterminación de un sistema de ecuaciones diferenciales parciales lineales homogéneas. La respuesta en el Ejemplo 1 anterior es que el sistema en consideración solo admite la solución trivial. En el segundo Ejemplo 2 se obtiene un espacio de soluciones bidimensional. En general, la respuesta puede ser más compleja, ya que puede haber infinitas constantes libres en la solución general; estas pueden obtenerse a partir de la descomposición de Loewy de la base de Janet correspondiente. ^{[ 8 ]} Además, la base de Janet de un módulo permite obtener una base de Janet para el módulo de sizigia. ^{[ 5 ]}

El algoritmo de Janet se ha implementado en Maple. ^{[ 9 ]}

• www.alltypes.de – Implementación de la base de Janet