Función zeta de Jacobi

En matemáticas, la función zeta de Jacobi Z ( u ) es la derivada logarítmica de la función theta de Jacobi Θ(u). También se la denomina comúnmente ^[1]${\displaystyle \operatorname {zn} (u,k)}$

${\displaystyle \Theta (u)=\Theta _{4}\left({\frac {\pi u}{2K}}\right)}$

${\displaystyle Z(u)={\frac {\parcial }{\parcial u}}\ln \Theta (u)}$ ${\displaystyle ={\frac {\Theta '(u)}{\Theta (u)}}}$^[2]

${\displaystyle Z(\phi |m)=E(\phi |m)-{\frac {E(m)}{K(m)}}F(\phi |m)}$^[3]

Donde E, K y F son integrales elípticas incompletas genéricas de primer y segundo tipo. Las funciones zeta de Jacobi, al ser tipos de funciones theta de Jacobi, tienen aplicaciones en todos sus campos y aplicaciones relevantes.

${\displaystyle \operatorname {zn} (u,k)=Z(u)=\int _{0}^{u}\operatorname {dn} ^{2}v-{\frac {E}{K}}dv}$^[1]

Esto relaciona la notación común de Jacobi de, , , . ^[1] con la función Zeta de Jacobi.${\displaystyle \operatorname {dn} {u}={\sqrt {1-m\sin {\theta }^{2}}}}$${\displaystyle \operatorname {sn} u=\sin {\theta }}$${\displaystyle \operatorname {cn} u=\cos {\theta }}$

Algunas relaciones adicionales incluyen,

${\displaystyle \operatorname {zn} (u,k)={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\Theta _{1}'{\frac {\pi u}{2K}}}{\Theta _{1}{\frac {\pi u}{2K}}}}-{\frac {\operatorname {cn} {u}\,\operatorname {dn} {u}}{\operatorname {sn} {u}}}}$^[1]

${\displaystyle \operatorname {zn} (u,k)={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\Theta _{2}'{\frac {\pi u}{2K}}}{\Theta _{2}{\frac {\pi u}{2K}}}}-{\frac {\operatorname {sn} {u}\,\operatorname {dn} {u}}{\operatorname {cn} {u}}}}$^[1]

${\displaystyle \operatorname {zn} (u,k)={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\Theta _{3}'{\frac {\pi u}{2K}}}{\Theta _{3}{\frac {\pi u}{2K}}}}-k^{2}{\frac {\operatorname {sn} {u}\,\operatorname {cn} {u}}{\operatorname {dn} {u}}}}$^[1]

${\displaystyle \operatorname {zn} (u,k)={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\Theta _{4}'{\frac {\pi u}{2K}}}{\Theta _{4}{\frac {\pi u}{2K}}}}}$^[1]

• https://booksite.elsevier.com/samplechapters/9780123736376/Sample_Chapters/01~Front_Matter.pdf Pág.xxxiv
• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 16". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. Vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Dover Publications. pág. 578. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.
• http://mathworld.wolfram.com/JacobiZetaFunction.html