Conjunto Jacobi

En la teoría de Morse , una disciplina matemática, los conjuntos de Jacobi proporcionan un método para estudiar la relación entre dos o más funciones de Morse .

Para dos funciones de Morse, el conjunto de Jacobi se define como el conjunto de puntos críticos de la restricción de una función a los conjuntos de nivel de la otra función. ^{[ 1 ]}

El conjunto de Jacobi también puede definirse como el conjunto de puntos donde los gradientes de las dos funciones son paralelos.

Si ambas funciones son genéricas, el conjunto de Jacobi es una 1-variedad suavemente incrustada.

Consideremos dos funciones de Morse genéricas.${\displaystyle f,g:M\to \mathbb {R} }$definido en una superficie lisa${\displaystyle d}$-variedad. Sea la restricción de${\displaystyle f}$al nivel establecido${\displaystyle g^{-1}(t)}$para${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$un valor regular, se llamará${\displaystyle f_{t}:g^{-1}(t)\to \mathbb {R} }$; es una función Morse. Luego el conjunto Jacobi${\displaystyle J}$de${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$es${\displaystyle J=cl{\{x\in M\mid x{\mbox{ es el punto crítico de }}f_{t}\}}}$,

Alternativamente, el conjunto de Jacobi es la colección de puntos donde los gradientes de las funciones se alinean entre sí o uno de los gradientes se anula (¿cita?), para algún${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle J=\{x\in M\mid \nabla {f(x)}+\lambda \nabla {g(x)}=0{\mbox{ o }}\lambda \nabla {f(x)}+\nabla {g(x)}=0\}.}$

De forma equivalente, el conjunto de Jacobi puede describirse como la colección de puntos críticos de la familia de funciones.${\displaystyle f+\lambda g}$, para algunos${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle J=\{x\in M\mid x{\mbox{ es un punto crítico de }}f+\lambda g{\mbox{ o }}\lambda f+g\}.}$