Función de conector

En matemáticas , la función de Jack es una generalización del polinomio de Jack , introducido por Henry Jack . El polinomio de Jack es un polinomio homogéneo y simétrico que generaliza los polinomios de Schur y zonales , y que a su vez es generalizado por los polinomios de Heckman-Opdam y los polinomios de Macdonald .

La función Jack${\displaystyle J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})}$ de una partición entera${\displaystyle \kappa }$, parámetro${\displaystyle \alpha }$y argumentos${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}}$se puede definir recursivamente de la siguiente manera:

Para m = 1

${\displaystyle J_{k}^{(\alpha )}(x_{1})=x_{1}^{k}(1+\alpha )\cdots (1+(k-1)\alpha )}$

Para m >1

${\displaystyle J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})=\sum _{\mu }J_{\mu }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m-1})x_{m}^{|\kappa /\mu |}\beta _{\kappa \mu },}$

donde la suma se realiza sobre todas las particiones${\displaystyle \mu }$de tal manera que la partición sesgada${\displaystyle \kappa /\mu }$es una franja horizontal , a saber:

${\displaystyle \kappa _ {1}\geq \mu _ {1}\geq \kappa _ {2}\geq \mu _ {2}\geq \cdots \geq \kappa _ {n-1}\geq \mu _ {n-1}\geq \kappa _ {n}}$(${\displaystyle \mu _{n}}$debe ser cero o de otro modo${\displaystyle J_{\mu }(x_{1},\ldots ,x_{n-1})=0}$) y

${\displaystyle \beta _{\kappa \mu }={\frac {\prod _{(i,j)\in \kappa }B_{\kappa \mu }^{\kappa }(i,j)}{\prod _{(i,j)\in \mu }B_{\kappa \mu }^{\mu }(i,j)}},}$

dónde${\displaystyle B_{\kappa \mu }^{\nu }(i,j)}$igual${\displaystyle \kappa _{j}'-i+\alpha (\kappa _{i}-j+1)}$si${\displaystyle \kappa _{j}'=\mu _{j}'}$y${\displaystyle \kappa _{j}'-i+1+\alpha (\kappa _{i}-j)}$de lo contrario. Las expresiones${\displaystyle \kappa '}$y${\displaystyle \mu '}$refiérase a las particiones conjugadas de${\displaystyle \kappa }$y${\displaystyle \mu }$, respectivamente. La notación${\displaystyle (i,j)\in \kappa }$significa que el producto se toma sobre todas las coordenadas${\displaystyle (i,j)}$de cajas en el diagrama de Young de la partición${\displaystyle \kappa }$.

Las funciones de Jack forman una base ortogonal en un espacio de polinomios simétricos, con producto interno:

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{[0,2\pi ]^{n}}f\left(e^{i\theta _{1}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}\right){\overline {g\left(e^{i\theta _{1}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}\right)}}\prod _{1\leq j<k\leq n}\left|e^{i\theta _{j}}-e^{i\theta _{k}}\right|^{\frac {2}{\alpha }}d\theta _{1}\cdots d\theta _{n}}$

Esta propiedad de ortogonalidad no se ve afectada por la normalización. La normalización definida anteriormente se conoce normalmente como normalización J. La normalización C se define como

${\displaystyle C_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {\alpha ^{|\kappa |}(|\kappa |)!}{j_{\kappa }}}J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$

dónde

${\displaystyle j_{\kappa }=\prod _{(i,j)\in \kappa }\left(\kappa _{j}'-i+\alpha \left(\kappa _{i}-j+1\right)\right)\left(\kappa _{j}'-i+1+\alpha \left(\kappa _{i}-j\right)\right).}$

Para${\displaystyle \alpha =2,C_{\kappa }^{(2)}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$a menudo se denota por${\displaystyle C_{\kappa }(x_{1},\ldots ,x_{n})}$y se denomina polinomio zonal .

La normalización P viene dada por la identidad${\displaystyle J_{\lambda }=H'_{\lambda }P_{\lambda }}$, dónde

${\displaystyle H'_{\lambda }=\prod _{s\in \lambda }(\alpha a_{\lambda }(s)+l_{\lambda }(s)+1)}$

dónde${\displaystyle a_{\lambda }}$y${\displaystyle l_{\lambda }}$denota la longitud del brazo y de la pierna respectivamente. Por lo tanto, para${\displaystyle \alpha =1,P_{\lambda }}$es la función Schur habitual.

Similar a los polinomios de Schur,${\displaystyle P_{\lambda }}$puede expresarse como una suma sobre los tableros de Young. Sin embargo, es necesario agregar un peso adicional a cada tablero que depende del parámetro${\displaystyle \alpha }$.

Por lo tanto, una fórmula ^{[ 2 ]} para la función de Jack${\displaystyle P_{\lambda }}$es dado por

${\displaystyle P_{\lambda }=\sum _{T}\psi _{T}(\alpha )\prod _{s\in \lambda }x_{T(s)}}$

donde la suma se toma sobre todos los cuadros de forma${\displaystyle \lambda }$, y${\displaystyle T(s)}$denota la entrada en la casilla s de T.

El peso${\displaystyle \psi _{T}(\alpha )}$se puede definir de la siguiente manera: Cada tablero T de forma${\displaystyle \lambda }$puede interpretarse como una secuencia de particiones

${\displaystyle \emptyset =\nu _{1}\to \nu _{2}\to \dots \to \nu _{n}=\lambda }$

dónde${\displaystyle \nu _{i+1}/\nu _{i}}$define la forma sesgada con contenido i en T. Entonces

${\displaystyle \psi _{T}(\alpha )=\prod _{i}\psi _{\nu _{i+1}/\nu _{i}}(\alpha )}$

dónde

${\displaystyle \psi _{\lambda /\mu }(\alpha )=\prod _{s\in R_{\lambda /\mu }-C_{\lambda /\mu }}{\frac {(\alpha a_{\mu }(s)+l_{\mu }(s)+1)}{(\alpha a_{\mu }(s)+l_{\mu }(s)+\alpha )}}{\frac {(\alpha a_{\lambda }(s)+l_{\lambda }(s)+\alpha )}{(\alpha a_{\lambda }(s)+l_{\lambda }(s)+1)}}}$

y el producto se toma solo en todas las cajas s en${\displaystyle \lambda }$de tal manera que s tiene una caja de${\displaystyle \lambda /\mu }$en la misma fila, pero no en la misma columna.

Cuando${\displaystyle \alpha =1}$La función de Jack es un múltiplo escalar del polinomio de Schur.

${\displaystyle J_{\kappa }^{(1)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=H_{\kappa }s_{\kappa }(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),}$

dónde

${\displaystyle H_{\kappa }=\prod _{(i,j)\in \kappa }h_{\kappa }(i,j)=\prod _{(i,j)\in \kappa }(\kappa _{i}+\kappa _{j}'-i-j+1)}$

es el producto de todas las longitudes de anzuelo de${\displaystyle \kappa }$.

Si la partición tiene más partes que el número de variables, entonces la función Jack es 0:

${\displaystyle J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})=0,{\mbox{ if }}\kappa _{m+1}>0.}$

En algunos textos, especialmente en teoría de matrices aleatorias, los autores han encontrado más conveniente usar un argumento matricial en la función de Jack. La conexión es simple. Si${\displaystyle X}$es una matriz con valores propios ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}}$, entonces

${\displaystyle J_{\kappa }^{(\alpha )}(X)=J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}).}$

• Demmel, James ; Koev, Plamen (2006), "Evaluación precisa y eficiente de las funciones de Schur y Jack", Mathematics of Computation , 75 (253): 223–239 , CiteSeerX 10.1.1.134.5248 , doi : 10.1090/S0025-5718-05-01780-1 , MR 2176397  .
• Jack, Henry (1970–1971), "Una clase de polinomios simétricos con un parámetro", Actas de la Real Sociedad de Edimburgo , Sección A. Matemáticas, 69 : 1–18 , MR 0289462 .
• Knop, Friedrich; Sahi, Siddhartha (19 de marzo de 1997), "Una recursión y una fórmula combinatoria para polinomios de Jack", Inventiones Mathematicae , 128 (1): 9–22 , arXiv : q-alg/9610016 , Bibcode : 1997InMat.128....9K , doi : 10.1007/s002220050134 , S2CID 7188322 
• Macdonald, IG (1995), Funciones simétricas y polinomios de Hall , Oxford Mathematical Monographs (2.ª  ed.), Nueva York: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853489-1, MR 1354144 
• Stanley, Richard P. (1989), "Algunas propiedades combinatorias de las funciones simétricas de Jack", Advances in Mathematics , 77 (1): 76–115 , doi : 10.1016/0001-8708(89)90015-7 , MR 1014073 .

• Software para calcular la función Jack, desarrollado por Plamen Koev y Alan Edelman.
• MOPS: Polinomios Ortogonales Multivariados (simbólicamente) (Paquete Maple) Archivado el 20/06/2010 en Wayback Machine
• Documentación de SAGE para las funciones simétricas de Jack