Isofota

En geometría , una isofota es una curva en una superficie iluminada que conecta puntos de igual brillo . Se supone que la iluminación se realiza mediante luz paralela y que el brillo $b$ se mide mediante el siguiente producto escalar :

b(P)={\vec {n}}(P)\cdot {\vec {v}}=\cos \varphi

donde ${\vec {n}}(P)$ es el vector normal unitario de la superficie en el punto $P$ y ${\vec {v}}$ ⁠ el vector unitario de la dirección de la luz. Si $b (P) = 0$ , es decir, la luz es perpendicular a la normal de la superficie, entonces el punto $P$ es un punto de la silueta de la superficie observada en la dirección ⁠ ${\vec {v}}.$ Un nivel de brillo de 1 significa que el vector de luz es perpendicular a la superficie. Un plano no tiene isofotas, ya que cada punto tiene el mismo brillo.

En astronomía , una isofota es una curva en una foto que conecta puntos de igual brillo. ^{[ 1 ]}

Aplicación y ejemplo

En el diseño asistido por ordenador , las isofotas se utilizan para comprobar ópticamente la suavidad de las conexiones de las superficies. Para una superficie (implícita o paramétrica) suficientemente diferenciable, el vector normal depende de las primeras derivadas. Por lo tanto, la diferenciabilidad de las isofotas y su continuidad geométrica es 1 menor que la de la superficie. Si en un punto de la superficie solo los planos tangentes son continuos (es decir, G1-continuos), las isofotas presentan allí un punto de inflexión (es decir, solo G0-continuos).

En el siguiente ejemplo (véase el diagrama), dos superficies de Bézier que se intersecan se combinan mediante una tercera superficie. En la imagen de la izquierda, la superficie de combinación solo tiene contacto G1 con las superficies de Bézier, mientras que en la de la derecha las superficies tienen contacto G2. Esta diferencia no se aprecia en la imagen. Sin embargo, la continuidad geométrica de las isofotas muestra que, en el lado izquierdo, presentan irregularidades (es decir, continuidad G0), y en el lado derecho, son suaves (es decir, continuidad G1).

Isofotas en dos superficies de Bezier y una superficie de mezcla G1-continua (izquierda) y G2-continua (derecha): A la izquierda, las isofotas tienen irregularidades y son suaves a la derecha.

Determinación de los puntos de una isofota

En una superficie implícita

Para una superficie implícita con ecuación $f(x,y,z)=0,$ La condición de isofota es ${\frac {\nabla f\cdot {\vec {v}}}{|\nabla f|}}=c\ .$ Eso significa que los puntos de una isofota con un parámetro $c$ dado son soluciones del sistema no lineal. ${\begin{aligned}f(x,y,z)&=0,\\[4pt]\nabla f(x,y,z)\cdot {\vec {v}}-c\;|\nabla f(x,y,z)|&=0,\end{aligned}}$ que puede considerarse como la curva de intersección de dos superficies implícitas. Utilizando el algoritmo de trazado de Bajaj et al. (véanse las referencias) se puede calcular un polígono de puntos.

Sobre una superficie paramétrica

En el caso de una superficie paramétrica ${\vec {x}}={\vec {S}}(s,t)$ La condición de isofota es

${\frac {({\vec {S}}_{s}\times {\vec {S}}_{t})\cdot {\vec {v}}}{|{\vec {S}}_{s}\times {\vec {S}}_{t}|}}=c\ .$

lo cual es equivalente a $\ ({\vec {S}}_{s}\times {\vec {S}}_{t})\cdot {\vec {v}}-c\;|{\vec {S}}_{s}\times {\vec {S}}_{t}|=0\ .$ Esta ecuación describe una curva implícita en el plano st, que puede ser trazada por un algoritmo adecuado (véase curva implícita ) y transformada por ${\vec {S}}(s,t)$ en puntos de la superficie.

Véase también

Línea de contorno

Referencias

J. Hoschek, D. Lasser: Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung , Teubner-Verlag, Stuttgart, 1989, ISBN 3-519-02962-6, pág. 31.
Z. Sun, S. Shan, H. Sang et al.: Reconocimiento biométrico , Springer, 2014, ISBN 978-3-319-12483-4, pág. 158.
CL Bajaj, CM Hoffmann, RE Lynch, JEH Hopcroft: Trazado de intersecciones de superficies , (1988) Comp. Aided Geom. Design 5, pp. 285–307.
CT Leondes: Sistemas de fabricación integrados y asistidos por ordenador: métodos de optimización , vol. 3, World Scientific, 2003, ISBN 981-238-981-4, pág. 209.

↑ J. Binney, M. Merrifield: Astronomía galáctica , Princeton University Press, 1998, ISBN 0-691-00402-1, pág. 178.

Enlaces externos

Patrikalakis-Maekawa-Cho: Isófotas (inglés)
A. Diatta, P. Giblin: Geometría de las curvas de isofotas
Jin Kim: Cálculo de isofotas de la superficie de revolución y de la superficie del canal.

[1] J. Binney, M. Merrifield: Astronomía galáctica , Princeton University Press, 1998, ISBN 0-691-00402-1, pág. 178.

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