Modelo predictor de intervalo

En el análisis de regresión , un modelo predictor de intervalos ( IPM ) es un enfoque de regresión en el que se obtienen límites de la función que se va a aproximar. Esto difiere de otras técnicas de aprendizaje automático , donde generalmente se desea estimar valores puntuales o una distribución de probabilidad completa. Los modelos predictores de intervalos a veces se denominan una técnica de regresión no paramétrica , porque el IPM contiene un conjunto potencialmente infinito de funciones y no se implica ninguna distribución específica para las variables regresionadas.

Recientemente se han desarrollado IPM de múltiples entradas y múltiples salidas para datos multipunto que se utilizan comúnmente para representar funciones. ^[1] Estos IPM prescriben los parámetros del modelo como un conjunto semialgebraico conectado por trayectorias utilizando distribuciones normales porciones ^{[2] o exponenciales porciones [3]} . Una ventaja clave de este enfoque es su capacidad para caracterizar dependencias de parámetros complejos con distintos niveles de fidelidad. Esta práctica permite al analista ajustar el nivel deseado de conservadurismo en la predicción.

Como consecuencia de la teoría de optimización de escenarios , en muchos casos se pueden hacer predicciones rigurosas sobre el rendimiento del modelo en el momento de la prueba. ^[4] Por lo tanto, un modelo de predicción de intervalo puede verse como un límite garantizado en la regresión cuantil . Los modelos de predicción de intervalo también pueden verse como una forma de prescribir el soporte de los modelos de predicción aleatorios, de los cuales un proceso gaussiano es un caso específico. ^[5]

Normalmente, el modelo predictor de intervalos se crea especificando una función paramétrica, que suele elegirse como el producto de un vector de parámetros y una base. Normalmente, la base está formada por características polinómicas o, a veces, se utiliza una base radial. A continuación, se asigna un conjunto convexo al vector de parámetros y se minimiza el tamaño del conjunto convexo de forma que cada punto de datos posible pueda predecirse mediante un valor posible de los parámetros. Campi (2009) utilizó conjuntos de parámetros elipsoidales, lo que da lugar a un programa de optimización convexa para entrenar el IPM. ^[4] Crespo (2016) propuso el uso de un conjunto de parámetros hiperrectangular, que da como resultado una forma lineal conveniente para los límites del IPM. ^[6] Por tanto, el IPM se puede entrenar con un programa de optimización lineal:

${\displaystyle \operatorname {arg\,min} _{p}\left\{\mathbb {E} _{x}({\bar {y}}_{p}(x)-{\underline {y}}_{p}(x)):{\bar {y}}_{p}(x^{(i)})>y^{(i)}>{\underline {y}}_{p}(x^{(i)}),i=1,\ldots ,N\right\}}$

donde los ejemplos de datos de entrenamiento son y , y los límites del modelo de predicción de intervalo y están parametrizados por el vector de parámetros . La confiabilidad de un IPM de este tipo se obtiene al notar que para un IPM convexo el número de restricciones de soporte es menor que la dimensionalidad de los parámetros entrenables y, por lo tanto, se puede aplicar el enfoque de escenario. ${\displaystyle y^{(i)}}$${\displaystyle x^{(i)}}$${\displaystyle {\underline {y}}_{p}(x)}$${\displaystyle {\overline {y}}_{p}(x)}$${\estilo de visualización p}$

Lacerda (2017) demostró que este enfoque se puede extender a situaciones en las que los datos de entrenamiento se valoran en intervalos en lugar de en puntos. ^[7]

En Campi (2015) se propuso una teoría no convexa de optimización de escenarios. ^[8] Esto implica medir la cantidad de restricciones de soporte, , para el modelo de predictor de intervalo después del entrenamiento y, por lo tanto, hacer predicciones sobre la confiabilidad del modelo. Esto permite crear IPM no convexos, como una red neuronal de una sola capa. Campi (2015) demuestra que un algoritmo donde el programa de optimización de escenarios solo se resuelve veces que puede determinar la confiabilidad del modelo en el momento de la prueba sin una evaluación previa en un conjunto de validación. ^[8] Esto se logra resolviendo el programa de optimización ${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización S}$

${\displaystyle \operatorname {arg\,min} _{p}\left\{h:|{\hat {y}}_{p}(x^{(i)})-y^{(i)}|<h,i=1,\ldots ,N\right\},}$

donde la línea central del modelo predictor de intervalo es , y el ancho del modelo es . Esto da como resultado un IPM que realiza predicciones con incertidumbre homocedástica. ${\displaystyle {\hat {y}}_{p}(x)=({\overline {y}}_{p}(x)+{\underline {y}}_{p}(x))\ veces 1/2}$${\displaystyle h=({\overline {y}}_{p}(x)-{\underline {y}}_{p}(x))\times 1/2}$

Sadeghi (2019) demuestra que el enfoque de escenario no convexo de Campi (2015) se puede extender para entrenar redes neuronales más profundas que predicen intervalos con incertidumbre heterocedástica en conjuntos de datos con imprecisión. ^[9] Esto se logra proponiendo generalizaciones a la función de pérdida de error máximo dada por

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{error máximo}}=\max _{i}|y^{(i)}-{\hat {y}}_{p}(x^{(i)})|,}$

lo que equivale a resolver el programa de optimización propuesto por Campi (2015).

Inicialmente, la optimización de escenarios se aplicó a problemas de control robusto. ^[10]

Crespo (2015) y (2021) aplicaron modelos de predicción de intervalos al diseño de blindaje contra la radiación espacial ^[11] y a la identificación de sistemas. ^[12]

En Patelli (2017), Faes (2019) y Crespo (2018), se aplicaron modelos de predicción de intervalos al problema de análisis de confiabilidad estructural . ^{[13] [5] [14]} Brandt (2017) aplica modelos de predicción de intervalos a la estimación de daños por fatiga de subestructuras de cubiertas de turbinas eólicas marinas. ^[15]

Garatti (2019) demostró que las capas de Chebyshev (es decir, las capas minimax alrededor de funciones ajustadas por regresión lineal) pertenecen a una clase particular de modelos predictores de intervalo, para los cuales la confiabilidad es invariante con respecto a la distribución de los datos. ^[16]${\displaystyle \ell _{\infty }}$

OpenCOSSAN proporciona una implementación en Matlab del trabajo de Crespo (2015). ^[13]