interferencia de ondas

En física , la interferencia es un fenómeno en el que dos ondas coherentes se combinan sumando sus intensidades o desplazamientos, teniendo en cuenta su diferencia de fase . La onda resultante puede tener mayor amplitud ( interferencia constructiva ) o menor amplitud ( interferencia destructiva ) si las dos ondas están en fase o desfasadas, respectivamente. Los efectos de interferencia se pueden observar con todo tipo de ondas, por ejemplo, luz , radio , acústica , ondas superficiales del agua , ondas gravitatorias u ondas de materia , así como en altavoces con ondas eléctricas.

Historia

Hacia 1800, Thomas Young utilizó la palabra interferencia al desarrollar sus teorías de acústica y óptica. ^[¹^]

Mecanismos

Interferencia de ondas que viajan hacia la derecha (verde) y hacia la izquierda (azul) en un espacio bidimensional, dando como resultado una onda final (roja).

Interferencia de ondas provenientes de dos fuentes puntuales.

Animación de tomografía computarizada recortada que muestra la interferencia de la luz láser al pasar a través de dos orificios (bordes laterales).

El principio de superposición de ondas establece que cuando dos o más ondas propagantes del mismo tipo inciden en el mismo punto, la amplitud resultante en ese punto es igual a la suma vectorial de las amplitudes de las ondas individuales. ^{[ 2 ]} Si la cresta de una onda se encuentra con la cresta de otra onda de la misma frecuencia en el mismo punto, entonces la amplitud es la suma de las amplitudes individuales; esto se conoce como interferencia constructiva . Si la cresta de una onda se encuentra con el valle de otra onda, entonces la amplitud es igual a la diferencia de las amplitudes individuales; esto se conoce como interferencia destructiva . En medios ideales (el agua y el aire son casi ideales), la energía siempre se conserva; en los puntos de interferencia destructiva, las amplitudes de las ondas se cancelan entre sí y la energía se redistribuye a otras áreas. Por ejemplo, cuando se dejan caer dos guijarros en un estanque, se observa un patrón; pero eventualmente las ondas continúan, y solo cuando llegan a la orilla se absorbe la energía del medio.

La interferencia constructiva se produce cuando la diferencia de fase entre las ondas es un múltiplo par de $π$ (180°), mientras que la interferencia destructiva se produce cuando la diferencia es un múltiplo impar de $π$ . Si la diferencia entre las fases es intermedia entre estos dos extremos, entonces la magnitud del desplazamiento de las ondas sumadas se encuentra entre los valores mínimo y máximo.

Consideremos, por ejemplo, qué sucede cuando se dejan caer dos piedras idénticas en un estanque de agua en reposo desde diferentes puntos. Cada piedra genera una onda circular que se propaga desde el punto de caída. Cuando las dos ondas se superponen, el desplazamiento neto en un punto determinado es la suma de los desplazamientos de las ondas individuales. En algunos puntos, estas ondas estarán en fase, produciendo un desplazamiento máximo. En otros puntos, estarán en contrafase, y no habrá desplazamiento neto. Por lo tanto, algunas partes de la superficie permanecerán estacionarias; estas se observan en la figura superior y a la derecha como líneas azul verdosas que irradian desde el centro.

La interferencia de la luz es un fenómeno único, ya que nunca podemos observar directamente la superposición del campo electromagnético, como sí ocurre, por ejemplo, en el agua. La superposición en el campo electromagnético es un fenómeno asumido y necesario para explicar cómo dos haces de luz se atraviesan y continúan sus respectivas trayectorias. Ejemplos claros de interferencia de la luz son el famoso experimento de la doble rendija , el moteado láser , los recubrimientos antirreflectantes y los interferómetros .

Además del modelo de onda clásico para comprender la interferencia óptica, las ondas de materia cuántica también demuestran interferencia.

Funciones de onda de valor real

Lo anterior se puede demostrar en una dimensión derivando la fórmula para la suma de dos ondas. La ecuación para la amplitud de una onda sinusoidal que viaja hacia la derecha a lo largo del eje x es: $W_{1}(x,t)=A\cos(kx-\omega t)$ dónde $A$ es la amplitud máxima, $k=2\pi /\lambda$ es el número de onda y $\omega =2\pi f$ es la frecuencia angular de la onda. Supongamos que una segunda onda de la misma frecuencia y amplitud, pero con una fase diferente, también viaja hacia la derecha. $W_{2}(x,t)=A\cos(kx-\omega t+\varphi )$ dónde $\varphi$ es la diferencia de fase entre las ondas en radianes . Las dos ondas se superpondrán y se sumarán: la suma de las dos ondas es $W_{1}+W_{2}=A[\cos(kx-\omega t)+\cos(kx-\omega t+\varphi )].$ Utilizando la identidad trigonométrica para la suma de dos cosenos: ${\textstyle \cos a+\cos b=2\cos \left({ab \over 2}\right)\cos \left({a+b \over 2}\right),}$ Esto se puede escribir $W_{1}+W_{2}=2A\cos \left({\varphi \over 2}\right)\cos \left(kx-\omega t+{\varphi \over 2}\right).$ Esto representa una onda a la frecuencia original, que viaja hacia la derecha como sus componentes, cuya amplitud es proporcional al coseno de $\varphi /2$ .

Interferencia constructiva : Si la diferencia de fase es un múltiplo par de $π$ : $\varphi =\ldots ,-4\pi ,-2\pi ,0,2\pi ,4\pi ,\ldots$ entonces $\left|\cos(\varphi /2)\right|=1$ , por lo tanto, la suma de las dos ondas es una onda con el doble de amplitud. $W_{1}+W_{2}=2A\cos(kx-\omega t)$
Interferencia destructiva : Si la diferencia de fase es un múltiplo impar de $π$ : $\varphi =\ldots ,-3\pi ,\,-\pi ,\,\pi ,\,3\pi ,\,5\pi ,\ldots$ entonces $\cos(\varphi /2)=0\,$ Por lo tanto, la suma de las dos ondas es cero. $W_{1}+W_{2}=0$

Entre dos ondas planas

Se obtiene una forma simple de patrón de interferencia si dos ondas planas de la misma frecuencia se intersecan en un ángulo. Una onda viaja horizontalmente y la otra viaja hacia abajo en un ángulo θ con respecto a la primera onda. Suponiendo que las dos ondas están en fase en el punto B , entonces la fase relativa cambia a lo largo del eje x . La diferencia de fase en el punto A viene dada por

$\Delta \varphi ={\frac {2\pi d}{\lambda }}={\frac {2\pi x\sin \theta }{\lambda }}.$

Se puede observar que las dos ondas están en fase cuando

${\frac {x\sin \theta }{\lambda }}=0,\pm 1,\pm 2,\ldots ,$

y están desfasados medio ciclo cuando

${\frac {x\sin \theta }{\lambda }}=\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {3}{2}},\ldots$

La interferencia constructiva ocurre cuando las ondas están en fase, y la interferencia destructiva cuando están desfasadas medio ciclo. Por lo tanto, se produce un patrón de franjas de interferencia, donde la separación de los máximos es

$d_{f}={\frac {\lambda }{\sin \theta }}$

y $d f$ se conoce como el espaciado de franjas. El espaciado de franjas aumenta con el aumento de la longitud de onda y con la disminución del ángulo $θ$ .

Las franjas se observan dondequiera que se superponen las dos ondas y el espaciado entre franjas es uniforme en toda la zona.

Entre dos ondas esféricas

Interferencia óptica entre dos fuentes puntuales que tienen diferentes longitudes de onda y separaciones entre fuentes.

Una fuente puntual produce una onda esférica. Si la luz de dos fuentes puntuales se superpone, el patrón de interferencia representa la variación espacial de la diferencia de fase entre ambas ondas. Esto depende de la longitud de onda y de la separación entre las fuentes. La figura de la derecha muestra la interferencia entre dos ondas esféricas. La longitud de onda aumenta de arriba abajo, y la distancia entre las fuentes aumenta de izquierda a derecha.

Cuando el plano de observación está lo suficientemente lejos, el patrón de franjas será una serie de líneas casi rectas, ya que las ondas serán entonces casi planas.

Múltiples haces

La interferencia se produce cuando se suman varias ondas, siempre que las diferencias de fase entre ellas permanezcan constantes durante el tiempo de observación.

En ocasiones, es deseable que varias ondas de la misma frecuencia y amplitud se anulen mutuamente (es decir, que interfieran destructivamente, que se cancelen). Este es el principio en el que se basan, por ejemplo, la alimentación trifásica y la red de difracción . En ambos casos, el resultado se logra mediante un espaciado uniforme de las fases.

Es fácil ver que un conjunto de ondas se cancelará si tienen la misma amplitud y sus fases están igualmente espaciadas en ángulo. Usando fasores , cada onda se puede representar como $Ae^{i\varphi _ {n}}$ para $N$ olas de $n=0$ a $n=N-1$ , dónde $\varphi _{n}-\varphi _{n-1}={\frac {2\pi }{N}}.$

Para demostrar que $\sum _ {n=0}^{N-1}Ae^{i\varphi _ {n}}=0$

uno simplemente asume lo contrario, luego multiplica ambos lados por $e^{i{\frac {2\pi }{N}}}.$

El interferómetro Fabry-Pérot utiliza la interferencia entre múltiples reflexiones.

Una rejilla de difracción puede considerarse un interferómetro de haces múltiples, ya que los picos que produce se generan por la interferencia entre la luz transmitida por cada uno de los elementos de la rejilla; consulte la sección sobre interferencia frente a difracción para obtener más información.

interferencia de ondas ópticas

Debido a que la frecuencia de las ondas de luz (~10¹⁴ ^Hz ) es demasiado alta para que los detectores disponibles actualmente detecten la variación del campo eléctrico de la luz, solo es posible observar la intensidad de un patrón de interferencia óptica. La intensidad de la luz en un punto dado es proporcional al cuadrado de la amplitud promedio de la onda. Esto se puede expresar matemáticamente de la siguiente manera. El desplazamiento de las dos ondas en un punto $r$ es:

$U_{1}(\mathbf {r} ,t)=A_{1}(\mathbf {r} )e^{i[\varphi _{1}(\mathbf {r} )-\omega t]}$ $U_{2}(\mathbf {r} ,t)=A_{2}(\mathbf {r} )e^{i[\varphi _{2}(\mathbf {r} )-\omega t]}$

donde $A$ representa la magnitud del desplazamiento, $φ$ representa la fase y $ω$ representa la frecuencia angular .

El desplazamiento de las ondas sumadas es

$U(\mathbf {r} ,t)=A_{1}(\mathbf {r} )e^{i[\varphi _{1}(\mathbf {r} )-\omega t]}+A_{2}(\mathbf {r} )e^{i[\varphi _{2}(\mathbf {r} )-\omega t]}.$

La intensidad de la luz en $r$ viene dada por

$I(\mathbf {r} )=\int U(\mathbf {r} ,t)U^{*}(\mathbf {r} ,t)\,dt\propto A_{1}^{2}(\mathbf {r} )+A_{2}^{2}(\mathbf {r} )+2A_{1}(\mathbf {r} )A_{2}(\mathbf {r} )\cos[\varphi _{1}(\mathbf {r} )-\varphi _{2}(\mathbf {r} )].$

Esto se puede expresar en términos de las intensidades de las ondas individuales como

$I(\mathbf {r} )=I_{1}(\mathbf {r} )+I_{2}(\mathbf {r} )+2{\sqrt {I_{1}(\mathbf {r} )I_{2}(\mathbf {r} )}}\cos[\varphi _{1}(\mathbf {r} )-\varphi _{2}(\mathbf {r} )].$

De este modo, el patrón de interferencia representa la diferencia de fase entre las dos ondas, con máximos que se producen cuando la diferencia de fase es un múltiplo de 2π $.$ Si los dos haces tienen la misma intensidad, los máximos son cuatro veces más brillantes que los haces individuales, y los mínimos tienen intensidad cero.

Clásicamente, las dos ondas deben tener la misma polarización para que se produzcan franjas de interferencia, ya que no es posible que ondas de polarizaciones diferentes se cancelen o se sumen. En cambio, cuando se suman ondas de polarización diferente, dan lugar a una onda con un estado de polarización distinto .

Desde el punto de vista de la mecánica cuántica, las teorías de Paul Dirac y Richard Feynman ofrecen un enfoque más moderno. Dirac demostró que cada cuanto o fotón de luz actúa de forma independiente, lo que él mismo afirmó: «cada fotón interfiere consigo mismo». Richard Feynman demostró que, al evaluar una integral de trayectoria considerando todas las trayectorias posibles, emergen varias trayectorias de mayor probabilidad. En películas delgadas, por ejemplo, un espesor que no sea múltiplo de la longitud de onda de la luz impide el paso de los cuantos; solo es posible la reflexión.

Requisitos de la fuente de luz

La discusión anterior presupone que las ondas que interfieren entre sí son monocromáticas, es decir, tienen una sola frecuencia; esto requiere que sean infinitas en el tiempo. Sin embargo, esto no es práctico ni necesario. Dos ondas idénticas de duración finita cuya frecuencia es fija durante ese período darán lugar a un patrón de interferencia mientras se superponen. Dos ondas idénticas que consisten en un espectro estrecho de frecuencias de duración finita (pero más corta que su tiempo de coherencia) darán lugar a una serie de patrones de franjas con espaciamientos ligeramente diferentes, y siempre que la dispersión de los espaciamientos sea significativamente menor que el espaciamiento promedio de las franjas, se observará nuevamente un patrón de franjas durante el tiempo en que las dos ondas se superponen.

Las fuentes de luz convencionales emiten ondas de diferentes frecuencias y en diferentes momentos desde diferentes puntos de la fuente. Si la luz se divide en dos ondas y luego se recombina, cada onda individual puede generar un patrón de interferencia con su otra mitad, pero los patrones de franjas individuales generados tendrán diferentes fases y espaciamientos, y normalmente no se observará ningún patrón de franjas general. Sin embargo, las fuentes de luz de un solo elemento, como las lámparas de sodio o de vapor de mercurio, tienen líneas de emisión con espectros de frecuencia bastante estrechos. Cuando estas se filtran espacial y cromáticamente, y luego se dividen en dos ondas, se pueden superponer para generar franjas de interferencia. ^{[ 3 ]} Toda la interferometría anterior a la invención del láser se realizó utilizando dichas fuentes y tuvo una amplia gama de aplicaciones exitosas.

Un haz láser generalmente se asemeja mucho más a una fuente monocromática, por lo que resulta mucho más sencillo generar franjas de interferencia con un láser. Sin embargo, la facilidad con la que se pueden observar las franjas de interferencia con un haz láser a veces puede causar problemas, ya que las reflexiones parásitas pueden generar franjas de interferencia falsas que pueden provocar errores.

Normalmente, en interferometría se utiliza un único haz láser, aunque se ha observado interferencia con dos láseres independientes cuyas frecuencias coincidían lo suficiente como para satisfacer los requisitos de fase. ^{[ 4 ]} Esto también se ha observado en la interferencia de campo amplio entre dos fuentes láser incoherentes. ^{[ 5 ]}

También es posible observar franjas de interferencia utilizando luz blanca. Un patrón de franjas de luz blanca puede considerarse compuesto por un «espectro» de patrones de franjas, cada uno con un espaciado ligeramente diferente. Si todos los patrones de franjas están en fase en el centro, entonces las franjas aumentarán de tamaño a medida que disminuye la longitud de onda y la intensidad total mostrará de tres a cuatro franjas de color variable. Young describe esto de manera muy elegante en su análisis de la interferencia de dos rendijas. Dado que las franjas de luz blanca se obtienen solo cuando las dos ondas han recorrido distancias iguales desde la fuente de luz, pueden ser muy útiles en interferometría, ya que permiten identificar la franja de diferencia de trayectoria cero. ^{[ 6 ]}

Disposiciones ópticas

Para generar franjas de interferencia, la luz de la fuente debe dividirse en dos ondas que luego deben recombinarse. Tradicionalmente, los interferómetros se han clasificado como sistemas de división de amplitud o de división de frente de onda.

En un sistema de división de amplitud, se utiliza un divisor de haz para dividir la luz en dos haces que viajan en direcciones opuestas, los cuales se superponen para producir el patrón de interferencia. El interferómetro de Michelson y el interferómetro de Mach-Zehnder son ejemplos de sistemas de división de amplitud.

En los sistemas de división de frente de onda, la onda se divide en el espacio; ejemplos de ello son el interferómetro de doble rendija de Young y el espejo de Lloyd .

La interferencia también se observa en fenómenos cotidianos como la iridiscencia y la coloración estructural . Por ejemplo, los colores de una burbuja de jabón surgen de la interferencia de la luz que se refleja en las superficies frontal y posterior de la fina película de jabón. Dependiendo del grosor de la película, los diferentes colores interfieren de forma constructiva y destructiva.

Iridiscencia causada por interferencia de película delgada
Smartphone con panel trasero iridiscente
Un derrame de petróleo
Interferencia de luz blanca en una burbuja de jabón.

Interferencia cuántica

La interferencia cuántica – el comportamiento ondulatorio observado de la materia ^{[ 7 ]} – se asemeja a la interferencia óptica . Sea $\Psi (x,t)$ Sea una solución de función de onda de la ecuación de Schrödinger para un objeto mecánico cuántico. Entonces, la probabilidad de observar el objeto en el intervalo $[a,b]$ es $P([a,b])=\int _{a}^{b}|\Psi (x,t)|^{2}dx=\int _{a}^{b}\Psi ^{*}(x,t)\Psi (x,t)dx$ donde * indica conjugación compleja . La interferencia cuántica se refiere al problema de esta probabilidad cuando la función de onda se expresa como una suma o superposición lineal de dos términos. $\Psi (x,t)=\Psi _{A}(x,t)+\Psi _{B}(x,t)$ : $P([a,b])=\int _{a}^{b}|\Psi (x,t)|^{2}=\int _{a}^{b}(|\Psi _{A}(x,t)|^{2}+|\Psi _{B}(x,t)|^{2}+\Psi _{A}^{*}(x,t)\Psi _{B}(x,t)+\Psi _{A}(x,t)\Psi _{B}^{*}(x,t))dx$

Generalmente, $\Psi _{A}(x,t)$ y $\Psi _{B}(x,t)$ corresponden a situaciones distintas A y B. Cuando esto ocurre, la ecuación $\Psi (x,t)=\Psi _{A}(x,t)+\Psi _{B}(x,t)$ indica que el objeto puede estar en la situación A o en la situación B. La ecuación anterior se puede interpretar entonces como: La probabilidad de encontrar el objeto en $x$ es la probabilidad de encontrar el objeto en $x$ cuando se encuentra en la situación A más la probabilidad de encontrar el objeto en $x$ cuando se encuentra en la situación B más un término adicional. Este término adicional, que se denomina término de interferencia cuántica , es $\Psi _{A}^{*}(x,t)\Psi _{B}(x,t)+\Psi _{A}(x,t)\Psi _{B}^{*}(x,t)$ en la ecuación anterior. Al igual que en el caso de la onda clásica anterior, el término de interferencia cuántica puede sumar (interferencia constructiva) o restar (interferencia destructiva) de $|\Psi _{A}(x,t)|^{2}+|\Psi _{B}(x,t)|^{2}$ en la ecuación anterior dependiendo de si el término de interferencia cuántica es positivo o negativo. Si este término está ausente para todos $x$ , entonces no hay interferencia mecánica cuántica asociada con las situaciones A y B.

El ejemplo más conocido de interferencia cuántica es el experimento de la doble rendija . En este experimento, las ondas de materia de electrones, átomos o moléculas se aproximan a una barrera con dos rendijas. La parte de la función de onda que pasa por una de las rendijas se asocia con $\Psi _{A}(x,t)$ mientras que la parte que pasa por la otra ranura está asociada con $\Psi _{B}(x,t)$ . El patrón de interferencia se produce en el lado opuesto, observado por detectores adecuados para las partículas que originan la onda de materia . ^{[ 8 ]} El patrón coincide con el patrón de doble rendija óptica.

Aplicaciones

Derrotar

En acústica , un pulso es un patrón de interferencia entre dos sonidos de frecuencias ligeramente diferentes , que se percibe como una variación periódica del volumen cuya frecuencia es la diferencia entre las dos frecuencias.

Con instrumentos de afinación que pueden producir tonos sostenidos, los pulsos se pueden reconocer fácilmente. Afinar dos tonos al unísono producirá un efecto peculiar: cuando los dos tonos están cerca en tono pero no son idénticos, la diferencia en frecuencia genera el pulso. El volumen varía como en un trémolo a medida que los sonidos interfieren alternativamente de forma constructiva y destructiva. A medida que los dos tonos se acercan gradualmente al unísono, el pulso se ralentiza y puede llegar a ser tan lento que resulte imperceptible. A medida que los dos tonos se alejan, su frecuencia de pulso comienza a acercarse al rango de percepción del tono humano, ^{[ 9 ]} el pulso comienza a sonar como una nota y se produce un tono combinado . Este tono combinado también puede denominarse fundamental faltante , ya que la frecuencia de pulso de dos tonos cualesquiera es equivalente a la frecuencia de su frecuencia fundamental implícita.

Interferometría

La interferometría es una técnica experimental para medir o utilizar la interferencia. Puede emplearse con diversos tipos de ondas. Todos los interferómetros requieren una fuente de ondas coherentes .

Interferometría óptica

El interferómetro más simple tiene un orificio para crear una fuente coherente, seguido de una máscara con dos orificios y una pantalla para observar la interferencia. Esto da lugar al experimento de doble rendija . Las versiones modernas reemplazan el orificio inicial con la luz coherente de un láser. ^{: 385} Otros interferómetros de división de frente de onda utilizan espejos o prismas para dividir y recombinar las ondas; los dispositivos de división de amplitud utilizan películas dieléctricas delgadas. Los interferómetros de haces múltiples pueden incluir lentes. ^{[ 10 ]}

Los resultados del experimento de Michelson-Morley se consideran generalmente la primera evidencia sólida en contra de la teoría de un éter luminífero y a favor de la relatividad especial .

La interferometría se ha utilizado para definir y calibrar patrones de longitud . Cuando el metro se definió como la distancia entre dos marcas en una barra de platino-iridio, Michelson y Benoît emplearon la interferometría para medir la longitud de onda de la línea roja del cadmio en el nuevo patrón, demostrando además su utilidad como patrón de longitud. Sesenta años después, en 1960, el metro en el nuevo Sistema Internacional de Unidades (SI) se definió como equivalente a 1.650.763,73 longitudes de onda de la línea de emisión naranja-roja en el espectro electromagnético del átomo de kriptón-86 en el vacío. Esta definición fue sustituida en 1983 por la definición del metro como la distancia recorrida por la luz en el vacío durante un intervalo de tiempo específico. La interferometría sigue siendo fundamental para establecer la cadena de calibración en la medición de longitudes.

La interferometría se utiliza en la calibración de bloques patrón (llamados bloques patrón en EE. UU.) y en máquinas de medición de coordenadas . También se utiliza en el ensayo de componentes ópticos. ^{[ 11 ]}

Radiointerferometría

El Very Large Array es un conjunto interferométrico formado por muchos telescopios más pequeños , al igual que muchos radiotelescopios de mayor tamaño .

En 1946 se desarrolló una técnica llamada interferometría astronómica . Los radiointerferómetros astronómicos suelen consistir en conjuntos de antenas parabólicas o conjuntos bidimensionales de antenas omnidireccionales. Todos los telescopios del conjunto están ampliamente separados y generalmente se conectan entre sí mediante cable coaxial , guía de ondas , fibra óptica u otro tipo de línea de transmisión . La interferometría aumenta la señal total captada, pero su objetivo principal es incrementar enormemente la resolución mediante un proceso llamado síntesis de apertura . Esta técnica funciona superponiendo (interfiriendo) las ondas de señal de los diferentes telescopios, basándose en el principio de que las ondas que coinciden con la misma fase se suman entre sí, mientras que dos ondas con fases opuestas se cancelan entre sí. Esto crea un telescopio combinado que es equivalente en resolución (aunque no en sensibilidad) a una sola antena cuyo diámetro es igual a la distancia entre las antenas más alejadas del conjunto.

Interferometría acústica

Un interferómetro acústico es un instrumento para medir las características físicas de las ondas sonoras en un gas o líquido, como la velocidad , la longitud de onda, la absorción o la impedancia . Un cristal vibrante crea ondas ultrasónicas que se irradian al medio. Estas ondas inciden sobre un reflector colocado en paralelo al cristal, se reflejan de vuelta a la fuente y se miden.

Véase también

Referencias

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↑ Ockenga, Wymke. Contraste de fase . Leika Science Lab, 9 de junio de 2011. "Si dos ondas interfieren, la amplitud de la onda luminosa resultante será igual a la suma vectorial de las amplitudes de las dos ondas que interfieren."
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↑ RS Longhurst, Óptica geométrica y física , 1968, Longmans, Londres.

Enlaces externos

Modelo de simulación en JavaScript sencillo de interferencia de ondas unidimensionales
Expresiones de posición y espaciado de franjas
Simulación en Java de la interferencia de las olas del agua 1
Simulación en Java de la interferencia de las olas del agua 2
Animaciones Flash que demuestran interferencias. Archivado el 24 de junio de 2009 en Wayback Machine.

[1] Kipnis, Nahum (1991). Historia del principio de interferencia de la luz . doi : 10.1007/978-3-0348-8652-9 . ISBN 978-3-0348-9717-4.

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