Medida de intensidad

En teoría de la probabilidad , una medida de intensidad es una medida derivada de una medida aleatoria . La medida de intensidad es una medida no aleatoria y se define como el valor esperado de la medida aleatoria de un conjunto; por lo tanto, corresponde al volumen promedio que la medida aleatoria asigna a un conjunto. La medida de intensidad contiene información importante sobre las propiedades de la medida aleatoria. Un proceso puntual de Poisson , interpretado como una medida aleatoria, por ejemplo, está determinado unívocamente por su medida de intensidad. ^{[ 1 ]}

Dejar${\displaystyle \zeta }$sea ​​una medida aleatoria en el espacio medible${\displaystyle (S,{\mathcal {A}})}$y denotan el valor esperado de un elemento aleatorio.${\displaystyle Y}$con${\displaystyle \operatorname {E} [Y]}$.

La medida de intensidad

${\displaystyle \operatorname {E} \zeta \colon {\mathcal {A}}\to [0,\infty ]}$

de${\displaystyle \zeta }$se define como

${\displaystyle \operatorname {E} \zeta (A)=\operatorname {E} [\zeta (A)]}$

a pesar de${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Nótese la diferencia en la notación entre el valor esperado de un elemento aleatorio.${\displaystyle Y}$, denotado por${\displaystyle \operatorname {E} [Y]}$y la medida de intensidad de la medida aleatoria${\displaystyle \zeta }$, denotado por${\displaystyle \operatorname {E} \zeta }$.

La medida de intensidad${\displaystyle \operatorname {E} \zeta }$siempre es s-finito y satisface

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\int f(x)\;\zeta (\mathrm {d} x)\right]=\int f(x)\operatorname {E} \zeta (dx)}$

por cada función medible positiva${\displaystyle f}$en${\displaystyle (S,{\mathcal {A}})}$. ^{[ 3 ]}

• Intensidad (teoría de la medida)