Fase y frecuencia instantáneas

En 1922, según Nahin, John Renshaw Carson definió la frecuencia instantánea de una señal "como la derivada temporal del ángulo de fase de la señal". En la modulación de frecuencia , la frecuencia instantánea describe la frecuencia que varía por encima y por debajo de la frecuencia portadora, en la frecuencia del tono de audio. ^{[ 1 ]}

La fase y la frecuencia instantáneas son conceptos importantes en el procesamiento de señales que aparecen en el contexto de la representación y el análisis de funciones que varían con el tiempo. ^{[ 2 ]} La fase instantánea (también conocida como fase local o simplemente fase ) de una función de valor complejo s ( t ), es la función de valor real :

${\displaystyle \varphi (t)=\arg\{s(t)\},}$

donde arg es la función de argumento complejo . La frecuencia instantánea es la tasa de cambio temporal de la fase instantánea.

Y para una función de valor real s ( t ), se determina a partir de la representación analítica de la función , s _a ( t ): ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t)&=\arg\{s_{\mathrm {a} }(t)\}\\[4pt]&=\arg\{s(t)+j{\hat {s}}(t)\},\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle {\hat {s}}(t)}$representa la transformada de Hilbert de s ( t ).

Cuando φ ( t ) está restringida a su valor principal , ya sea el intervalo (−π , π ] o [ 0 , 2π ) , se denomina fase envuelta . En caso contrario, se denomina fase desenrollada , que es una función continua del argumento t , suponiendo _que sa ( t ) es una función continua de t . Salvo indicación contraria, debe inferirse la forma continua.

La frecuencia angular instantánea se define como:

${\displaystyle \omega (t)={\frac {d\varphi (t)}{dt}},}$

y la frecuencia instantánea (ordinaria) se define como:

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi }}\omega (t)={\frac {1}{2\pi }}{\frac {d\varphi (t)}{dt}}}$

donde φ ( t ) debe ser la fase desenrollada ; de lo contrario, si φ ( t ) está envuelta, las discontinuidades en φ ( t ) darán como resultado impulsos delta de Dirac en f ( t ).

La operación inversa, que siempre desenvuelve la fase, es:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t)&=\int _{-\infty }^{t}\omega (\tau )\,d\tau =2\pi \int _{-\infty }^{t}f(\tau )\,d\tau \\[5pt]&=\int _{-\infty }^{0}\omega (\tau )\,d\tau +\int _{0}^{t}\omega (\tau )\,d\tau \\[5pt]&=\varphi (0)+\int _{0}^{t}\omega (\tau )\,d\tau .\end{aligned}}}$

Esta frecuencia instantánea, ω ( t ), se puede derivar directamente de las partes real e imaginaria de s _a ( t ), en lugar del arg complejo sin preocuparse por el desenrollado de fase.

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t)&=\arg\{s_{\mathrm {a} }(t)\}\\[4pt]&=\operatorname {atan2} ({\mathcal {Estoy}}[s_{\mathrm {a} }(t)],{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)])+2m_{1}\pi \\[4pt]&=\arctan \left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}}\right)+m_{2}\pi \end{aligned}}}$

2 m ₁ π y m ₂ π son los múltiplos enteros de π necesarios para sumar y desenrollar la fase. En los valores de tiempo, t , donde no hay cambio en el entero m ₂ , la derivada de φ ( t ) es

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega (t)={\frac {d\varphi (t)}{dt}}&={\frac {d}{dt}}\arctan \left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{1+\left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}}\right)^{2}}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}}\right)\\[3pt]&={\frac {{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}-{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}}{({\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)])^{2}+({\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)])^{2}}}\\[3pt]&={\frac {1}{|s_{\mathrm {a} }(t)|^{2}}}\left({\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}-{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{(s(t))^{2}+\left({\hat {s}}(t)\right)^{2}}}\left(s(t){\frac {d{\hat {s}}(t)}{dt}}-{\hat {s}}(t){\frac {ds(t)}{dt}}\right)\end{aligned}}}$

Para funciones de tiempo discreto, esto se puede escribir como una recursión:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi [n]&=\varphi [n-1]+\omega [n]\\&=\varphi [n-1]+\underbrace {\arg\{s_{\mathrm {a} }[n]\}-\arg\{s_{\mathrm {a} }[n-1]\}} _{\Delta \varphi [n]}\\&=\varphi [n-1]+\arg \left\{{\frac {s_{\mathrm {a} }[n]}{s_{\mathrm {a} }[n-1]}}\right\}\\\end{aligned}}}$

Las discontinuidades se pueden eliminar sumando 2π siempre que Δφ [ n ] ≤ −π y restando 2π siempre que Δφ [ n ]  > π . Esto permite que φ [ n ] se acumule sin límite y produce una fase instantánea desenrollada. Una formulación equivalente que reemplaza la operación módulo 2π con una multiplicación compleja es: 

${\displaystyle \varphi [n]=\varphi [n-1]+\arg\{s_{\mathrm {a} }[n]\,s_{\mathrm {a} }^{*}[n-1]\},}$

donde el asterisco denota el conjugado complejo . La frecuencia instantánea de tiempo discreto (en unidades de radianes por muestra) es simplemente el avance de fase para esa muestra.

${\displaystyle \omega [n]=\arg\{s_{\mathrm {a} }[n]\,s_{\mathrm {a} }^{*}[n-1]\}.}$

En algunas aplicaciones, como promediar los valores de fase en varios momentos del tiempo, puede ser útil convertir cada valor a un número complejo o a una representación vectorial: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle e^{i\varphi (t)}={\frac {s_{\mathrm {a} }(t)}{|s_{\mathrm {a} }(t)|}}=\cos(\varphi (t))+i\sin(\varphi (t)).}$

Esta representación es similar a la representación de fase envuelta en el sentido de que no distingue entre múltiplos de 2π en la fase, pero similar a la representación de fase desenrollada, ya que es continua. Se puede obtener una fase promedio vectorial como el argumento de la suma de los números complejos sin preocuparse por el envolvimiento.

• Desplazamiento angular
• Señal analítica
• Modulación de frecuencia
• Retraso del grupo
• Amplitud instantánea
• Frecuencia negativa

• Cohen, Leon (1995). Análisis tiempo-frecuencia . Prentice Hall.
• Granlund; Knutsson (1995). Procesamiento de señales para visión por computadora . Kluwer Academic Publishers.