órbita circular estable más interna

La órbita circular estable más interna (a menudo llamada ISCO ) es la órbita circular marginalmente estable más pequeña en la que una partícula de prueba puede orbitar de forma estable un objeto masivo en la relatividad general . ^{[ 1 ]} La ubicación de la ISCO, el radio de la ISCO (${\displaystyle r_{\mathrm {isco} }}$), depende de la masa y el momento angular (espín) del objeto central. La ISCO juega un papel importante en los discos de acreción de agujeros negros , ya que marca el borde interior del disco.

La órbita circular estable más interna (ISCO) no debe confundirse con el límite de Roche , el punto más interno en el que un objeto físico puede orbitar antes de que las fuerzas de marea lo destruyan. La ISCO se refiere a partículas de prueba teóricas , no a objetos reales. En términos generales, la ISCO estará mucho más cerca del objeto central que el límite de Roche.

En mecánica clásica , una órbita se alcanza cuando el momento angular de una partícula de prueba es suficiente para contrarrestar la fuerza gravitatoria del objeto central. A medida que la partícula se acerca al objeto central, el momento angular requerido aumenta debido a la ley de la gravitación inversa del cuadrado . Esto se observa en la práctica en las órbitas de satélites artificiales ; en órbita geoestacionaria a 35 786 kilómetros (22 236 millas), la velocidad orbital es de 10 800 kilómetros por hora (6 700 mph) , mientras que en órbita terrestre baja es de 27 000 kilómetros por hora (17 000 mph) . Las órbitas pueden alcanzarse a cualquier altitud, ya que en mecánica clásica no existe un límite superior para la velocidad.   

La relatividad general (RG) introduce un límite superior para la velocidad de cualquier objeto: la velocidad de la luz . Si una partícula de prueba desciende en órbita hacia un objeto central en la RG, eventualmente requerirá una velocidad mayor que la de la luz para mantener su órbita. Esto define la órbita instantánea más interna posible, conocida como órbita circular interna, que se encuentra a 1,5 veces el radio de Schwarzschild (para un agujero negro regido por la métrica de Schwarzschild ). Esta distancia también se conoce como esfera de fotones .

En la RG, la gravedad no se trata como una fuerza central que tira de los objetos; en cambio, opera curvando el espacio-tiempo , doblando así la trayectoria que puede recorrer cualquier partícula de prueba. El ISCO es el resultado de un término atractivo en la ecuación que representa la energía de una partícula de prueba cerca del objeto central. ^{[ 2 ]} Este término no puede ser compensado por momento angular adicional, y cualquier partícula dentro de este radio se dirigirá en espiral hacia el centro. La naturaleza precisa del término depende de las condiciones del objeto central (es decir, si un agujero negro tiene momento angular ).

Para un objeto masivo sin rotación, donde el campo gravitatorio puede expresarse con la métrica de Schwarzschild , la ISCO se encuentra en

${\displaystyle r_{\mathrm {ms} }=6{\frac {GM}{c^{2}}}=3R_{S},}$

dónde${\displaystyle R_{S}}$es el radio de Schwarzschild del objeto masivo con masa${\displaystyle M}$. Por lo tanto, incluso para un objeto que no gira, el radio ISCO es solo tres veces el radio de Schwarzschild ,${\displaystyle R_{S}}$, lo que sugiere que solo los agujeros negros y las estrellas de neutrones tienen órbitas circulares estables más internas fuera de sus superficies. A medida que aumenta el momento angular del objeto central,${\displaystyle r_{\mathrm {isco} }}$disminuye.

Las órbitas circulares ligadas aún son posibles entre la ISCO y la llamada órbita marginalmente ligada , que tiene un radio de

${\displaystyle r_{\mathrm {mb} }=4{\frac {GM}{c^{2}}}={2R_{S}},}$

pero son inestables. Entre${\displaystyle r_{\mathrm {mb} }}$y son posibles las llamadas órbitas no ligadas de la esfera de fotones, que son extremadamente inestables y que proporcionan una energía total superior a la masa en reposo en el infinito.

Para una partícula de prueba sin masa como un fotón , la única órbita circular posible pero inestable se encuentra exactamente en la esfera del fotón . ^{[ 3 ]} Dentro de la esfera del fotón, no existen órbitas circulares. Su radio es

${\displaystyle r_{\mathrm {ph} }=3{\frac {GM}{c^{2}}}={1.5R_{S}}.}$

La falta de estabilidad dentro de la órbita circular estable más interna (ISCO) se explica porque la disminución de la órbita no libera suficiente energía potencial para alcanzar la velocidad orbital necesaria: la aceleración obtenida es insuficiente. Esto se suele representar mediante un gráfico del potencial efectivo orbital , que es mínimo en la ISCO.

El caso de los agujeros negros en rotación es algo más complicado. La ISCO ecuatorial en la métrica de Kerr depende de si la órbita es prograda (signo negativo en${\displaystyle r_{\mathrm {ms} }}$) o retrógrado (signo positivo en${\displaystyle r_{\mathrm {ms} }}$):

${\displaystyle r_{\mathrm {ms} }={\frac {GM}{c^{2}}}\left(3+Z_{2}\pm {\sqrt {(3-Z_{1})(3+Z_{1}+2Z_{2})}}\right)\leq 9{\frac {GM}{c^{2}}}=4.5\,R_{S}}$

dónde

${\displaystyle Z_{1}=1+{\sqrt[{3}]{1-\chi ^{2}}}\left({\sqrt[{3}]{1+\chi }}+{\sqrt[{3}]{1-\chi }}\right)}$

${\displaystyle Z_{2}={\sqrt {3\chi ^{2}+Z_{1}^{2}}}}$

con el parámetro de rotación${\displaystyle \chi =2a/R_{S}=cJ/(M^{2}G)}$. ^{[ 4 ]}

A medida que la velocidad de rotación del agujero negro aumenta hasta el máximo de${\displaystyle \chi \to 1}$, el radio ISCO progrado, el radio marginalmente ligado y el radio de la esfera de fotones disminuyen hasta el radio del horizonte de sucesos en el llamado radio gravitacional, aunque siguen siendo lógica y localmente distinguibles. ^{[ 5 ]}

${\displaystyle r_{\mathrm {ms} }\to r_{\mathrm {mb} }\to r_{\mathrm {ph} }\to r_{E}\to r_{G}=GM/c^{2}}$

Por lo tanto, los radios retrógrados aumentan hacia

${\displaystyle r_{\mathrm {ms} }\to 9{\frac {GM}{c^{2}}}=4.5\,R_{S}}$

${\displaystyle r_{\mathrm {mb} }={\frac {GM}{c^{2}}}(1+{\sqrt {1\pm \chi }})^{2}\to (3+{\sqrt {8}}){\frac {GM}{c^{2}}}\approx 2.9142\,R_{S}}$,

${\displaystyle r_{\mathrm {ph} }=2{\frac {GM}{c^{2}}}\left(1+\cos \left({\tfrac {2}{3}}\cos ^{-1}(\pm \chi )\right)\right)\to 4{\frac {GM}{c^{2}}}=2\,R_{S}}$.

Si la partícula también está girando, hay una división adicional en el radio ISCO dependiendo de si el giro está alineado con o en contra de la rotación del agujero negro. ^{[ 6 ]}

• Leo C. Stein, calculadora Kerr V2