Función vectorial de dimensión infinita

Si${\displaystyle f:[0,1]\to X,}$dónde${\displaystyle X}$es un espacio de Banach u otro espacio vectorial topológico entonces la derivada de${\displaystyle f}$puede definirse de la forma habitual: $${\displaystyle f'(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}.}$$

Si${\displaystyle [a,b]}$es un intervalo contenido en el dominio de una curva${\displaystyle f}$que se valora en un espacio vectorial topológico entonces el vector${\displaystyle f(b)-f(a)}$se llama el acorde de${\displaystyle f}$determinado por${\displaystyle [a,b]}$. ^{[ 1 ]} Si${\displaystyle [c,d]}$es otro intervalo en su dominio entonces se dice que los dos acordes no se superponen si${\displaystyle [a,b]}$y${\displaystyle [c,d]}$tienen como máximo un punto final en común. ^{[ 1 ]} Intuitivamente, dos cuerdas no superpuestas de una curva valorada en un espacio de producto interno son vectores ortogonales si la curva realiza un giro en ángulo recto en algún punto de su trayectoria entre su punto de inicio y su punto final. Si cada par de cuerdas no superpuestas son ortogonales, entonces tal giro a la derecha ocurre en cada punto de la curva; dicha curva no puede ser diferenciable en ningún punto. ^{[ 1 ]} Un arco arrugado es una curva continua inyectiva con la propiedad de que cualesquiera dos cuerdas no superpuestas son vectores ortogonales. Un ejemplo de un arco arrugado en el espacio de Hilbert${\displaystyle L^{2}}$espacio${\displaystyle L^{2}(0,1)}$es: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f:\;&&[0,1]&&\;\to \;&L^{2}(0,1)\\[0.3ex]&&t&&\;\mapsto \;&\mathbb {1} _{[0,t]}\\\end{alignedat}}}$$ dónde${\displaystyle \mathbb {1} _{[0,\,t]}:(0,1)\to \{0,1\}}$es la función indicadora definida por $${\displaystyle x\;\mapsto \;{\begin{cases}1&{\text{ si }}x\in [0,t]\\0&{\text{ en otro caso }}\end{cases}}}$$ Se puede encontrar un arco arrugado en cada espacio de Hilbert de dimensión infinita porque cualquier espacio de este tipo contiene un subespacio vectorial cerrado que es isomorfo a${\displaystyle L^{2}(0,1).}$^{[ 2 ]} Un arco arrugado${\displaystyle f:[0,1]\to X}$Se dice que está normalizado si${\displaystyle f(0)=0,}$${\displaystyle \|f(1)\|=1,}$y la extensión de su imagen${\displaystyle f([0,1])}$es un subconjunto denso de${\displaystyle X.}$^{[ 2 ]}

Si${\displaystyle h:[0,1]\to [0,1]}$entonces es un homeomorfismo creciente${\displaystyle f\circ h}$se denomina reparametrización de la curva${\displaystyle f:[0,1]\to X.}$^{[ 1 ]} Dos curvas${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$en un espacio interior del producto${\displaystyle X}$son unitariamente equivalentes si existe un operador unitario${\displaystyle L:X\to X}$(que es una biyección lineal isométrica ) tal que${\displaystyle g=L\circ f}$(o equivalentemente,${\displaystyle f=L^{-1}\circ g}$).

La mensurabilidad de${\displaystyle f}$puede definirse de varias maneras, las más importantes de las cuales son la mensurabilidad de Bochner y la mensurabilidad débil .

Las integrales más importantes de${\displaystyle f}$se denominan integral de Bochner (cuando${\displaystyle X}$es un espacio de Banach) y la integral de Pettis (cuando${\displaystyle X}$es un espacio vectorial topológico). Ambas integrales conmutan con funcionales lineales . También${\displaystyle L^{p}}$Se han definido espacios para dichas funciones.