Forma indeterminada

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  Figura 1: y = ⁠ x / x ⁠
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  Figura 2: y = ⁠ x ² / x ⁠
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  Figura 3 : y = sen x / x 
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  Figura 4: y = ⁠ x − 49 / √ x − 7 ⁠ (para x = 49)
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  Figura 5 : y = a x / x donde a = 2
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  Figura 6: y = ⁠ x / x ³ ⁠

La forma indeterminada${\displaystyle 0/0}$es particularmente común en cálculo , porque a menudo surge en la evaluación de derivadas utilizando su definición en términos de límite.

Como se mencionó anteriormente,

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x}{x}}=1,\qquad }$(véase la figura 1)

mientras

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{x}}=0,\qquad }$(véase la figura 2)

Esto es suficiente para demostrar que${\displaystyle 0/0}$es una forma indeterminada. Otros ejemplos con esta forma indeterminada incluyen:

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1,\qquad }$(véase la figura 3)

y

${\displaystyle \lim _{x\to 49}{\frac {x-49}{{\sqrt {x}}\,-7}}=14,\qquad }$(véase la figura 4)

Sustitución directa del número que${\displaystyle x}$Los acercamientos a cualquiera de estas expresiones muestran que estos son ejemplos que corresponden a la forma indeterminada.${\displaystyle 0/0}$pero estos límites pueden asumir muchos valores diferentes. Cualquier valor deseado${\displaystyle a}$para esta forma indeterminada se puede obtener de la siguiente manera:

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {ax}{x}}=a.\qquad }$(véase la figura 5)

El valor${\displaystyle \infty }$También se puede obtener (en el sentido de divergencia al infinito):

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x}{x^{3}}}=\infty .\qquad }$(véase la figura 6)

Gráfica de y = x ⁰

Gráfica de y = 0 ^x

Los siguientes límites ilustran que la expresión${\displaystyle 0^{0}}$es una forma indeterminada: $${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 0^{+}}x^{0}&=1,\\\lim _{x\to 0^{+}}0^{x}&=0.\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, en general, sabiendo que${\displaystyle \textstyle \lim _{x\to c}f(x)\;=\;0}$y${\displaystyle \textstyle \lim _{x\to c}g(x)\;=\;0}$no es suficiente para evaluar el límite $${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}.}$$

Si las funciones${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$son analíticos en${\displaystyle c}$, y${\displaystyle f}$es positivo para${\displaystyle x}$suficientemente cerca (pero no igual) de${\displaystyle c}$, entonces el límite de${\displaystyle f(x)^{g(x)}}$será${\displaystyle 1}$. ^{[ 3 ]} De lo contrario, utilice la transformación de la tabla siguiente para evaluar el límite.

La expresión${\displaystyle 1/0}$no se considera comúnmente una forma indeterminada, porque si el límite de${\displaystyle f(x)/g(x)}$como${\displaystyle g(x)\rightarrow 0}$Si existe, entonces no hay ambigüedad en cuanto a su valor, ya que siempre diverge. Específicamente, con la restricción de que${\displaystyle f(x)}$aproches${\displaystyle 1}$y${\displaystyle g(x)}$aproches${\displaystyle 0,}$podemos elegir${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$de modo que:

1. ${\displaystyle f(x)/g(x)}$aproches${\displaystyle +\infty }$
2. ${\displaystyle f(x)/g(x)}$aproches${\displaystyle -\infty }$
3. El límite no existe.

En cada caso el valor absoluto${\displaystyle |f(x)/g(x)|}$aproches${\displaystyle +\infty }$y por lo tanto el cociente${\displaystyle f(x)/g(x)}$debe divergir, en el sentido de los números reales extendidos (en el marco de la recta real proyectivamente extendida , el límite es el infinito sin signo${\displaystyle \infty }$en los tres casos). ^{[ 4 ]} De manera similar, cualquier expresión de la forma${\displaystyle a/0}$con${\displaystyle a\neq 0}$(incluido${\displaystyle a=+\infty }$y${\displaystyle a=-\infty }$) no es una forma indeterminada, ya que un cociente que dé lugar a tal expresión siempre divergirá.

La expresión${\displaystyle 0^{\infty }}$no es una forma indeterminada. La expresión${\displaystyle 0^{+\infty }}$obtenido al considerar${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}}$da el límite${\displaystyle 0,}$siempre que${\displaystyle f(x)}$permanece no negativo como${\displaystyle x}$aproches${\displaystyle c}$. La expresión${\displaystyle 0^{-\infty }}$es igualmente equivalente a${\displaystyle 1/0}$; si${\displaystyle f(x)>0}$como${\displaystyle x}$aproches${\displaystyle c}$, el límite resulta ser${\displaystyle +\infty }$.

Para ver por qué, deje que${\displaystyle L=\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)},}$dónde${\displaystyle \lim _{x\to c}{f(x)}=0,}$y${\displaystyle \lim _{x\to c}{g(x)}=\infty .}$Al tomar el logaritmo natural de ambos lados y usar${\displaystyle \lim _{x\to c}\ln {f(x)}=-\infty ,}$lo entendemos${\displaystyle \ln L=\lim _{x\to c}({g(x)}\times \ln {f(x)})=\infty \times {-\infty }=-\infty ,}$lo que significa que${\displaystyle L={e}^{-\infty }=0.}$

Cuando dos variables${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$convergen a cero en el mismo punto límite y${\displaystyle \textstyle \lim {\frac {\beta }{\alpha }}=1}$, se denominan infinitesimales equivalentes (equiv.${\displaystyle \alpha \sim \beta }$).

Además, si las variables${\displaystyle \alpha '}$y${\displaystyle \beta '}$son tales que${\displaystyle \alpha \sim \alpha '}$y${\displaystyle \beta \sim \beta '}$, entonces: $${\displaystyle \lim {\frac {\beta }{\alpha }}=\lim {\frac {\beta '}{\alpha '}}}$$

Aquí hay una breve prueba:

Supongamos que hay dos infinitesimales equivalentes${\displaystyle \alpha \sim \alpha '}$y${\displaystyle \beta \sim \beta '}$.

$${\displaystyle \lim {\frac {\beta }{\alpha }}=\lim {\frac {\beta \beta '\alpha '}{\beta '\alpha '\alpha }}=\lim {\frac {\beta }{\beta '}}\lim {\frac {\alpha '}{\alpha }}\lim {\frac {\beta '}{\alpha '}}=\lim {\frac {\beta '}{\alpha '}}}$$

Para la evaluación de la forma indeterminada${\displaystyle 0/0}$, se pueden utilizar los siguientes hechos sobre infinitesimales equivalentes (por ejemplo,${\displaystyle x\sim \sin x}$si x se acerca a cero): ^{[ 5 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&\sim \sin x,\\x&\sim \arcsin x,\\x&\sim \sinh x,\\x&\sim \tan x,\\x&\sim \arctan x,\\x&\sim \ln(1+x),\\1-\cos x&\sim {\frac {x^{2}}{2}},\\\cosh x-1&\sim {\frac {x^{2}}{2}},\\a^{x}-1&\sim x\ln a,\\e^{x}-1&\sim x,\\(1+x)^{a}-1&\sim ax.\end{aligned}}}$$

Por ejemplo:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{3}}}\left[\left({\frac {2+\cos x}{3}}\right)^{x}-1\right]&=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x\ln {\frac {2+\cos x}{3}}}-1}{x^{3}}}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}\ln {\frac {2+\cos x}{3}}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}\ln \left({\frac {\cos x-1}{3}}+1\right)\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos x-1}{3x^{2}}}\\&=\lim _{x\to 0}-{\frac {x^{2}}{6x^{2}}}\\&=-{\frac {1}{6}}\end{aligned}}}$$

En la segunda igualdad,${\displaystyle e^{y}-1\sim y}$dónde${\displaystyle y=x\ln {2+\cos x \over 3}}$a medida que y se acerca a 0 se utiliza, y${\displaystyle y\sim \ln {(1+y)}}$dónde${\displaystyle y={{\cos x-1} \over 3}}$se utiliza en la cuarta igualdad, y${\displaystyle 1-\cos x\sim {x^{2} \over 2}}$se utiliza en la quinta igualdad.

La regla de L'Hôpital es un método general para evaluar las formas indeterminadas.${\displaystyle 0/0}$y${\displaystyle \infty /\infty }$Esta regla establece que (en las condiciones apropiadas)

$${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}},}$$

dónde${\displaystyle f'}$y${\displaystyle g'}$son los derivados de${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$. (Tenga en cuenta que esta regla no se aplica a las expresiones${\displaystyle \infty /0}$,${\displaystyle 1/0}$, y así sucesivamente, ya que estas expresiones no son formas indeterminadas.) Estas derivadas permitirán realizar una simplificación algebraica y, finalmente, evaluar el límite.

La regla de L'Hôpital también se puede aplicar a otras formas indeterminadas, utilizando primero una transformación algebraica apropiada. Por ejemplo, para evaluar la forma 0 ⁰ :

$${\displaystyle \ln \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}.}$$

El lado derecho tiene la forma${\displaystyle \infty /\infty }$, por lo que se aplica la regla de L'Hôpital. Nótese que esta ecuación es válida (siempre que el lado derecho esté definido) porque el logaritmo natural (ln) es una función continua ; es irrelevante cuán bien se comporta.${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$puede (o no) ser tan largo como${\displaystyle f}$es asintóticamente positivo. (El dominio de los logaritmos es el conjunto de todos los números reales positivos).

Aunque la regla de L'Hôpital se aplica a ambos${\displaystyle 0/0}$y${\displaystyle \infty /\infty }$, una de estas formas puede ser más útil que la otra en un caso particular (debido a la posibilidad de simplificación algebraica posterior). Se puede cambiar entre estas formas transformando${\displaystyle f/g}$a${\displaystyle (1/g)/(1/f)}$.

• Varberg, Dale E.; Purcell, Edwin J.; Rigdon, Steven E. (2007). Cálculo (9ª  ed.). Pearson-Prentice Hall . ISBN 978-0131469686.