Comparabilidad

En matemáticas , se dice que dos elementos x e y de un conjunto P son comparables con respecto a una relación binaria ≤ si se cumple al menos una de las siguientes afirmaciones: x ≤ y o y ≤ x . Se denominan incomparables si no son comparables.

Una relación binaria en un conjunto${\displaystyle P}$es por definición cualquier subconjunto${\displaystyle R}$de${\displaystyle P\times P.}$Dado${\displaystyle x,y\in P,}$${\displaystyle xRy}$está escrito si y solo si${\displaystyle (x,y)\in R,}$en cuyo caso${\displaystyle x}$Se dice que está relacionado con${\displaystyle y}$por${\displaystyle R.}$ Un elemento${\displaystyle x\in P}$Se dice que${\displaystyle R}$-comparable , o comparable ( con respecto a${\displaystyle R}$), a un elemento${\displaystyle y\in P}$si${\displaystyle xRy}$o${\displaystyle yRx.}$ A menudo, un símbolo que indica comparación, como por ejemplo:${\displaystyle <}$(o${\displaystyle \leq ,}$${\displaystyle >,}$${\displaystyle \geq ,}$y muchos otros) se utiliza en lugar de${\displaystyle R,}$en cuyo caso${\displaystyle x<y}$está escrito en lugar de${\displaystyle xRy,}$Por eso se utiliza el término "comparable".

Comparabilidad con respecto a${\displaystyle R}$induce una relación binaria canónica en${\displaystyle P}$; específicamente, la relación de comparabilidad inducida por${\displaystyle R}$se define como el conjunto de todos los pares${\displaystyle (x,y)\in P\times P}$de tal manera que${\displaystyle x}$es comparable a${\displaystyle y}$; es decir, de tal manera que al menos uno de${\displaystyle xRy}$y${\displaystyle yRx}$es cierto. De manera similar, la relación de incomparabilidad en${\displaystyle P}$inducido por${\displaystyle R}$se define como el conjunto de todos los pares${\displaystyle (x,y)\in P\times P}$de tal manera que${\displaystyle x}$es incomparable a${\displaystyle y;}$es decir, de tal manera que ni${\displaystyle xRy}$ni${\displaystyle yRx}$Es cierto.

Si el símbolo${\displaystyle <}$se utiliza en lugar de${\displaystyle \leq }$entonces comparabilidad con respecto a${\displaystyle <}$a veces se denota con el símbolo${\displaystyle {\overset {<}{\underset {>}{=}}}}$y la incomparabilidad por el símbolo${\displaystyle {\cancelar {\overset {<}{\underset {>}{=}}}}\!}$. ^{[ 1 ]} Por lo tanto, para cualesquiera dos elementos${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$de un conjunto parcialmente ordenado, exactamente uno de${\displaystyle x\ {\overset {<}{\underset {>}{=}}}\ y}$y${\displaystyle x{\cancelar {\overset {<}{\underset {>}{=}}}}y}$Es cierto.

Un conjunto totalmente ordenado es un conjunto parcialmente ordenado en el que cualesquiera dos elementos son comparables. El teorema de extensión de Szpilrajn establece que todo orden parcial está contenido en un orden total. Intuitivamente, el teorema indica que cualquier método de comparación de elementos que deje algunos pares incomparables puede extenderse de tal manera que todos los pares sean comparables.

Ambas relaciones de comparabilidad e incomparabilidad son simétricas , es decir${\displaystyle x}$es comparable a${\displaystyle y}$si y solo si${\displaystyle y}$es comparable a${\displaystyle x,}$y lo mismo ocurre con la incomparabilidad.

El gráfico de comparabilidad de un conjunto parcialmente ordenado${\displaystyle P}$tiene como vértices los elementos de${\displaystyle P}$y tiene como aristas precisamente esos pares${\displaystyle \{x,y\}}$de elementos para los cuales${\displaystyle x\ {\overset {<}{\underset {>}{=}}}\ y}$. ^{[ 2 ]}

Al clasificar objetos matemáticos (por ejemplo, espacios topológicos ), se dice que dos criterios son comparables cuando los objetos que cumplen un criterio constituyen un subconjunto de los objetos que cumplen el otro, es decir, cuando son comparables bajo el orden parcial ⊂. Por ejemplo, los _criterios T1 y T2 son comparables, mientras que los criterios T1 _{y de} sobriedad no lo son.

• Ordenación débil estricta : clasificación matemática de un conjunto de páginas que muestran descripciones breves de destinos de redirección , una ordenación parcial en la que la incomparabilidad es una relación transitiva. 

• Pedido parcial en PlanetMath .