Métodos explícitos e implícitos

Los métodos explícitos e implícitos son enfoques utilizados en el análisis numérico para obtener aproximaciones numéricas a las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales dependientes del tiempo , como se requiere en las simulaciones por computadora de procesos físicos . Los métodos explícitos calculan el estado de un sistema en un momento posterior a partir del estado del sistema en el momento actual, mientras que los métodos implícitos encuentran una solución resolviendo una ecuación que involucra tanto el estado actual del sistema como el posterior. Matemáticamente, si${\displaystyle Y(t)}$es el estado actual del sistema y${\displaystyle Y(t+\Delta t)}$es el estado en el momento posterior (${\displaystyle \Delta t}$es un paso de tiempo pequeño), entonces, para un método explícito

${\displaystyle Y(t+\Delta t)=F(Y(t))\,}$

mientras que para un método implícito se resuelve una ecuación

${\displaystyle G{\Big (}Y(t),Y(t+\Delta t){\Big )}=0\qquad (1)\,}$

encontrar${\displaystyle Y(t+\Delta t).}$

Los métodos implícitos requieren un cálculo adicional (resolver la ecuación anterior) y pueden ser mucho más difíciles de implementar. Se utilizan porque muchos problemas que surgen en la práctica son rígidos , para los cuales el uso de un método explícito requiere pasos de tiempo impracticablemente pequeños.${\displaystyle \Delta t}$Para mantener el error en el resultado acotado (véase estabilidad numérica ). Para este tipo de problemas, para lograr la precisión deseada, se requiere mucho menos tiempo de cálculo utilizando un método implícito con pasos de tiempo mayores, incluso teniendo en cuenta que es necesario resolver una ecuación de la forma (1) en cada paso de tiempo. Dicho esto, la elección entre un método explícito o implícito depende del problema a resolver.

Dado que el método implícito no se puede llevar a cabo para cada tipo de operador diferencial , a veces es aconsejable utilizar el llamado método de división de operadores, lo que significa que el operador diferencial se reescribe como la suma de dos operadores complementarios.

${\displaystyle Y(t+\Delta t)=F(Y(t+\Delta t))+G(Y(t)),\,}$

mientras que uno se trata explícitamente y el otro implícitamente. Para las aplicaciones habituales, el término implícito se elige como lineal, mientras que el término explícito puede ser no lineal. Esta combinación del primer método se denomina Método Implícito-Explícito (abreviado IMEX, ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} ).

Consideremos la ecuación diferencial ordinaria.

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=-y^{2},\ t\in [0,a]\quad \quad (2)}$

con la condición inicial${\displaystyle y(0)=1.}$Este problema tiene la solución exacta.${\displaystyle y={\frac {1}{t+1}}}$, que normalmente no se puede escribir para los problemas que se presentan en la práctica, pero en este caso permite una comparación con las soluciones numéricas. Consideremos una cuadrícula${\displaystyle t_{k}=a{\frac {k}{n}}}$para 0  ≤ k ≤ n , es decir, el paso de tiempo es   ${\displaystyle \Delta t=a/n,}$y denotar${\ Displaystyle y_ {k} = y (t_ {k})}$para cada${\displaystyle k}$Discretiza esta ecuación utilizando los métodos explícitos e implícitos más simples, que son los métodos de Euler hacia adelante y hacia atrás (ver ecuaciones diferenciales ordinarias numéricas ) y compara los esquemas obtenidos.

Método de Euler hacia adelante

El método de Euler hacia adelante

${\displaystyle \left({\frac {dy}{dt}}\right)_{k}\approx {\frac {y_{k+1}-y_{k}}{\Delta t}}=-y_{k}^{2}}$

rendimientos

${\displaystyle y_{k+1}=y_{k}-\Delta ty_{k}^{2}\quad \quad \quad (3)\,}$

para cada${\displaystyle k=0,1,\dots ,n.}$Esta es una fórmula explícita para${\displaystyle y_{k+1}}$.

Método de Euler hacia atrás

Con el método de Euler hacia atrás

${\displaystyle {\frac {y_{k+1}-y_{k}}{\Delta t}}=-y_{k+1}^{2}}$

uno encuentra la ecuación implícita

${\displaystyle y_{k+1}+\Delta ty_{k+1}^{2}=y_{k}}$

para${\displaystyle y_{k+1}}$(compare esto con la fórmula (3) donde${\displaystyle y_{k+1}}$se dio explícitamente en lugar de como una incógnita en una ecuación).

Esta es una ecuación cuadrática , que tiene una raíz negativa y una positiva . Se elige la raíz positiva porque en la ecuación original la condición inicial es positiva, y luego${\displaystyle y}$en el siguiente paso de tiempo viene dado por

${\displaystyle y_{k+1}={\frac {-1+{\sqrt {1+4\Delta ty_{k}}}}{2\Delta t}}.\quad \quad (4)}$

En la gran mayoría de los casos, la ecuación a resolver mediante un método implícito es mucho más compleja que una ecuación cuadrática, y no existe una solución analítica. En esos casos, se utilizan algoritmos de búsqueda de raíces , como el método de Newton , para hallar la solución numérica.

Método de Crank-Nicolson

Con el método Crank-Nicolson

${\displaystyle {\frac {y_{k+1}-y_{k}}{\Delta t}}=-{\frac {1}{2}}y_{k+1}^{2}-{\frac {1}{2}}y_{k}^{2}}$

uno encuentra la ecuación implícita

${\displaystyle y_{k+1}+{\frac {1}{2}}{\Delta t}y_{k+1}^{2}=y_{k}-{\frac {1}{2}}\Delta ty_{k}^{2}}$

para${\displaystyle y_{k+1}}$(compare esto con la fórmula (3) donde${\displaystyle y_{k+1}}$se dio explícitamente en lugar de como una incógnita en una ecuación). Esto se puede resolver numéricamente utilizando algoritmos de búsqueda de raíces , como el método de Newton , para obtener${\displaystyle y_{k+1}}$.

El método de Crank-Nicolson puede considerarse una forma de esquemas IMEX ( im explícito- ex explícito) más generales.

Método de Euler hacia adelante y hacia atrás

Para aplicar el esquema IMEX, consideremos una ecuación diferencial ligeramente diferente:

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=yy^{2},\ t\in [0,a]\quad \quad (5)}$

Resulta que

${\displaystyle \left({\frac {dy}{dt}}\right)_{k}\approx y_{k+1}-y_{k}^{2},\ t\in [0,a]}$

y por lo tanto

${\displaystyle y_{k+1}={\frac {y_{k}(1-y_{k}\Delta t)}{1-\Delta t}}\quad \quad (6)}$

para cada${\displaystyle k=0,1,\dots ,n.}$

• Condición de Courant-Friedrichs-Lewy
• Algoritmo SIMPLE , un método semi-implícito para ecuaciones relacionadas con la presión.