Control de impedancia

El control de impedancia es un método de control dinámico que relaciona fuerza y posición. Se utiliza frecuentemente en aplicaciones donde un manipulador interactúa con su entorno y la relación fuerza-posición es relevante. Un ejemplo de estas aplicaciones es la interacción entre humanos y robots, donde la fuerza ejercida por el humano determina la velocidad de movimiento y detención del robot. Los métodos de control más sencillos, como el control de posición o el control de par, presentan un rendimiento deficiente cuando el manipulador experimenta contacto. Por lo tanto, el control de impedancia se utiliza comúnmente en estos casos.

La impedancia mecánica es la relación entre la fuerza de salida y la velocidad de entrada. Esto es análogo a la impedancia eléctrica , que es la relación entre la tensión de salida y la corriente de entrada (por ejemplo, la resistencia es la tensión dividida por la corriente). Una constante elástica define la fuerza de salida para un desplazamiento (extensión o compresión) del resorte. Una constante de amortiguación define la fuerza de salida para una velocidad de entrada. Si controlamos la impedancia de un mecanismo, controlamos la fuerza de resistencia a los movimientos externos impuestos por el entorno.

La admitancia mecánica es la inversa de la impedancia: define los movimientos que resultan de la aplicación de una fuerza. Si un mecanismo aplica una fuerza al entorno, este se moverá o no, dependiendo de sus propiedades y de la fuerza aplicada. Por ejemplo, una canica sobre una mesa reaccionará de forma muy diferente a una fuerza determinada que un tronco flotando en un lago.

La teoría clave que sustenta el método consiste en tratar el entorno como una admitancia y el manipulador como una impedancia. Se basa en el postulado de que "ningún controlador puede hacer que el manipulador parezca al entorno algo distinto a un sistema físico ". Esta regla general también puede enunciarse así: "en el caso más común en el que el entorno es una admitancia (por ejemplo, una masa, posiblemente con restricciones cinemáticas), esa relación debería ser una impedancia, una función, posiblemente no lineal, dinámica o incluso discontinua, que especifique la fuerza producida en respuesta a un movimiento impuesto por el entorno". ^{[ 1 ]}

Principio

El control de impedancia no se limita a regular la fuerza o la posición de un mecanismo. En cambio, regula la relación entre fuerza y posición, por un lado, y velocidad y aceleración, por otro, es decir, la impedancia del mecanismo. Requiere una posición (velocidad o aceleración) como entrada y tiene una fuerza resultante como salida. La inversa de la impedancia es la admitancia. Esta impone una posición. Por lo tanto, en realidad, el controlador impone un comportamiento de masa-resorte-amortiguador al mecanismo al mantener una relación dinámica entre fuerza y posición. $({\boldsymbol {F}})$ y posición, velocidad y aceleración $({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {a}})$ : ${\boldsymbol {F}}=M{\boldsymbol {a}}+C{\boldsymbol {v}}+K{\boldsymbol {x}}+{\boldsymbol {f}}+{\boldsymbol {s}}$ , con ${\boldsymbol {f}}$ siendo fricción y ${\boldsymbol {s}}$ siendo fuerza estática.

Misas ( $M$ ) y resortes (con rigidez $K$ ) son elementos de almacenamiento de energía, mientras que un amortiguador (con amortiguación) $C$ ) es un dispositivo disipador de energía. Si podemos controlar la impedancia, podemos controlar el intercambio de energía durante la interacción, es decir, el trabajo realizado. Por lo tanto, el control de la impedancia es control de la interacción. ^{[ 2 ]}

Tenga en cuenta que los sistemas mecánicos son inherentemente multidimensionales: un brazo robótico típico puede colocar un objeto en tres dimensiones ( $(x,y,z)$ coordenadas) y en tres orientaciones (por ejemplo, balanceo, cabeceo, guiñada). En teoría, un controlador de impedancia puede hacer que el mecanismo exhiba una impedancia mecánica multidimensional. Por ejemplo, el mecanismo podría ser muy rígido a lo largo de un eje y muy flexible a lo largo de otro. Al compensar la cinemática y las inercias del mecanismo, podemos orientar esos ejes arbitrariamente y en varios sistemas de coordenadas. Por ejemplo, podríamos hacer que un soporte robótico de piezas sea muy rígido tangencialmente a una muela abrasiva, mientras que sea muy flexible (controlando la fuerza con poca preocupación por la posición) en el eje radial de la muela.

Fundamentos matemáticos

espacio articular

Un robot no controlado puede expresarse en formulación lagrangiana como

dónde ${\boldsymbol {q}}$ denota la posición angular de la articulación, ${\boldsymbol {M}}$ es la matriz de inercia simétrica y definida positiva , ${\boldsymbol {c}}$ el par de torsión de Coriolis y centrífugo, ${\boldsymbol {g}}$ el torque gravitacional, ${\boldsymbol {h}}$ incluye pares adicionales debido, por ejemplo, a la rigidez inherente, la fricción, etc., y ${\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {ext} }$ Resume todas las fuerzas externas del entorno. El par de actuación ${\boldsymbol {\tau }}$ En el lado izquierdo se encuentra la variable de entrada para el robot.

Se puede proponer una ley de control de la siguiente forma:

dónde ${\boldsymbol {q}}_{\mathrm {d} }$ denota la posición angular deseada de la articulación, ${\boldsymbol {K}}$ y ${\boldsymbol {D}}$ son los parámetros de control y ${\hat {\boldsymbol {M}}}$ , ${\hat {\boldsymbol {c}}}$ , ${\hat {\boldsymbol {g}}}$ , y ${\hat {\boldsymbol {h}}}$ son el modelo interno de los términos mecánicos correspondientes.

Sustituyendo ( 2 ) en ( 1 ) se obtiene una ecuación del sistema de lazo cerrado (robot controlado):

${\boldsymbol {K}}({\boldsymbol {q}}_{\mathrm {d} }-{\boldsymbol {q}})+{\boldsymbol {D}}({\dot {\boldsymbol {q}}}_{\mathrm {d} }-{\dot {\boldsymbol {q}}})+{\boldsymbol {M}}({\boldsymbol {q}})({\ddot {\boldsymbol {q}}}_{\mathrm {d} }-{\ddot {\boldsymbol {q}}})={\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {ext} }.$

Dejar ${\boldsymbol {e}}={\boldsymbol {q}}_{\mathrm {d} }-{\boldsymbol {q}}$ , uno obtiene

${\boldsymbol {K}}{\boldsymbol {e}}+{\boldsymbol {D}}{\dot {\boldsymbol {e}}}+{\boldsymbol {M}}{\ddot {\boldsymbol {e}}}={\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {ext} }$

Dado que las matrices ${\boldsymbol {K}}$ y ${\boldsymbol {D}}$ Tienen unidades de rigidez y amortiguación, se las conoce comúnmente como matriz de rigidez y amortiguación , respectivamente. Claramente, el robot controlado es esencialmente una impedancia mecánica multidimensional (masa-resorte-amortiguador) al entorno, que se aborda mediante ${\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {ext} }$ .

Espacio de tareas

El mismo principio se aplica también al espacio de tareas. Un robot no controlado tiene la siguiente representación del espacio de tareas en formulación lagrangiana:

${\boldsymbol {\mathcal {F}}}={\boldsymbol {\Lambda }}({\boldsymbol {q}}){\ddot {\boldsymbol {x}}}+{\boldsymbol {\mu }}({\boldsymbol {x}},{\dot {\boldsymbol {x}}})+{\boldsymbol {\gamma }}({\boldsymbol {q}})+{\boldsymbol {\eta }}({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})+{\boldsymbol {\mathcal {F}}}_{\mathrm {ext} }$ ,

dónde ${\boldsymbol {q}}$ denota la posición angular de la articulación, ${\boldsymbol {x}}$ posición en el espacio de tareas, ${\boldsymbol {\Lambda }}$ la matriz de inercia del espacio de tareas simétrica y definida positiva. Los términos ${\boldsymbol {\mu }}$ , ${\boldsymbol {\gamma }}$ , ${\boldsymbol {\eta }}$ , y ${\boldsymbol {\mathcal {F}}}_{\mathrm {ext} }$ son la fuerza generalizada de Coriolis y el término centrífugo, la gravitación, otros términos no lineales y contactos ambientales. Tenga en cuenta que esta representación solo se aplica a robots con cinemática redundante . La fuerza generalizada ${\boldsymbol {\mathcal {F}}}$ En el lado izquierdo corresponde al par de entrada del robot.

De forma análoga, se puede proponer la siguiente ley de control:

${\boldsymbol {\mathcal {F}}}={\boldsymbol {K}}_{\mathrm {x} }({\boldsymbol {x}}_{\mathrm {d} }-{\boldsymbol {x}})+{\boldsymbol {D}}_{\mathrm {x} }({\dot {\boldsymbol {x}}}_{\mathrm {d} }-{\dot {\boldsymbol {x}}})+{\hat {\boldsymbol {\Lambda }}}({\boldsymbol {q}}){\ddot {\boldsymbol {x}}}_{\mathrm {d} }+{\hat {\boldsymbol {\mu }}}({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})+{\hat {\boldsymbol {\gamma }}}({\boldsymbol {q}})+{\hat {\boldsymbol {\eta }}}({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}}),$

dónde ${\boldsymbol {x}}_{\mathrm {d} }$ denota la posición deseada en el espacio de tareas, ${\boldsymbol {K}}_{\mathrm {x} }$ y ${\boldsymbol {D}}_{\mathrm {x} }$ son las matrices de rigidez y amortiguación del espacio de tareas, y ${\hat {\boldsymbol {\Lambda }}}$ , ${\hat {\boldsymbol {\mu }}}$ , ${\hat {\boldsymbol {\gamma }}}$ , y ${\hat {\boldsymbol {\eta }}}$ son el modelo interno de los términos mecánicos correspondientes.

De manera similar, uno tiene

${\boldsymbol {e}}_{\mathrm {x} }={\boldsymbol {x}}_{\mathrm {d} }-{\boldsymbol {x}}$ ,

como el sistema de bucle cerrado, que es esencialmente una impedancia mecánica multidimensional al entorno ( ${\boldsymbol {\mathcal {F}}}_{\mathrm {ext} }$ ) también. Por lo tanto, se puede elegir la impedancia deseada (principalmente rigidez) en el espacio de trabajo. Por ejemplo, se puede querer que el robot controlado actúe muy rígido en una dirección mientras que sea relativamente flexible en otras mediante la configuración

${\boldsymbol {K}}_{\mathrm {x} }={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1000\end{pmatrix}}\mathrm {N/m} ,$

suponiendo que el espacio de tareas es un espacio euclidiano tridimensional . La matriz de amortiguación ${\boldsymbol {D}}_{\mathrm {x} }$ se suele elegir de forma que el sistema de lazo cerrado ( 3 ) sea estable . ^{[ 3 ]}

Aplicaciones

El control de impedancia se utiliza en aplicaciones como la robótica como estrategia general para enviar comandos a un brazo robótico y un efector final que tiene en cuenta la cinemática y dinámica no lineales del objeto que se manipula. ^{[ 4 ]}

Referencias

↑ Hogan, N. (6-8 de junio de 1984). "Control de impedancia: un enfoque para la manipulación" (PDF) . Conferencia Americana de Control . págs. 304, 313. Archivado (PDF) del original el 21 de diciembre de 2021. Recuperado el 19 de septiembre de 2013 .
↑ Buchli, J. (12 de julio de 2011). "Fuerza, cumplimiento, impedancia y control de interacción: Caminata y carrera dinámicas con robots en la escuela de verano" (PDF) . págs. 212–243 . Archivado del original (PDF) el 16 de octubre de 2017.
↑ Albu-Schäffer, A.; Ott, C.; Hirzinger, G. (2004), "Un controlador de impedancia cartesiana basado en pasividad para robots de articulaciones flexibles - parte II: retroalimentación de estado completa, diseño de impedancia y experimentos.", En Actas de la Conferencia Internacional IEEE de Robótica y Automatización de 2004 , págs. 2666–2672
↑ Dietrich, A. (2016). Control de impedancia de cuerpo entero de robots humanoides con ruedas . Springer International Publishing. ISBN 978-3-319-40556-8Archivado del original el 7 de septiembre de 2017. Consultado el 1 de septiembre de 2017 .

[1] Hogan, N. (6-8 de junio de 1984). "Control de impedancia: un enfoque para la manipulación" (PDF) . Conferencia Americana de Control . págs. 304, 313. Archivado (PDF) del original el 21 de diciembre de 2021. Recuperado el 19 de septiembre de 2013 .

[2] Buchli, J. (12 de julio de 2011). "Fuerza, cumplimiento, impedancia y control de interacción: Caminata y carrera dinámicas con robots en la escuela de verano" (PDF) . págs. 212–243 . Archivado del original (PDF) el 16 de octubre de 2017.

[3] Albu-Schäffer, A.; Ott, C.; Hirzinger, G. (2004), "Un controlador de impedancia cartesiana basado en pasividad para robots de articulaciones flexibles - parte II: retroalimentación de estado completa, diseño de impedancia y experimentos.", En Actas de la Conferencia Internacional IEEE de Robótica y Automatización de 2004 , págs. 2666–2672

[4] Dietrich, A. (2016). Control de impedancia de cuerpo entero de robots humanoides con ruedas . Springer International Publishing. ISBN 978-3-319-40556-8Archivado del original el 7 de septiembre de 2017. Consultado el 1 de septiembre de 2017 .

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