ecuación hipsométrica

La ecuación hipsométrica , también conocida como ecuación de espesor , relaciona la relación de presión atmosférica con el espesor equivalente de una capa atmosférica, considerando la temperatura virtual media de la capa , la gravedad y, ocasionalmente, el viento . Se deriva de la ecuación hidrostática y la ley de los gases ideales .

La ecuación hipsométrica se expresa como: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle h=z_{2}-z_{1}={\frac {R\cdot {\overline {T_{v}}}}{g}}\,\ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right),}$$ dónde:

• ${\displaystyle h}$= espesor de la capa [m] ,
• ${\displaystyle z}$= altura geométrica [m] ,
• ${\displaystyle R}$= constante específica de los gases para aire seco,
• ${\displaystyle {\overline {T_{v}}}}$= temperatura virtual media en Kelvin [K] ,
• ${\displaystyle g}$= aceleración gravitatoria [m/ ^s² ] ,
• ${\displaystyle p}$= presión [ Pa ] .

En meteorología ,${\displaystyle p_{1}}$y${\displaystyle p_{2}}$son superficies isobáricas . En la observación con radiosonda , la ecuación hipsométrica se puede utilizar para calcular la altura de un nivel de presión a partir de la altura de un nivel de presión de referencia y la temperatura virtual media entre ambos. Luego, la altura recién calculada se puede usar como un nuevo nivel de referencia para calcular la altura del siguiente nivel a partir de la temperatura virtual media entre ellos, y así sucesivamente.

La ecuación hidrostática:

${\displaystyle p=\rho \cdot g\cdot z,}$

dónde${\displaystyle \rho }$es la densidad [kg/m³ ^] , se utiliza para generar la ecuación de equilibrio hidrostático , escrita en forma diferencial :

${\displaystyle dp=-\rho \cdot g\cdot dz.}$

Esto se combina con la ley de los gases ideales :

${\displaystyle p=\rho \cdot R\cdot T_{v}}$

eliminar${\displaystyle \rho }$:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p}{p}}={\frac {-g}{R\cdot T_{v}}}\,\mathrm {d} z.}$

Esto está integrado desde${\displaystyle z_{1}}$a${\displaystyle z_{2}}$:

${\displaystyle \int _{p(z_{1})}^{p(z_{2})}{\frac {\mathrm {d} p}{p}}=\int _{z_{1}}^{z_{2}}{\frac {-g}{R\cdot T_{v}}}\,\mathrm {d} z.}$

R y g son constantes con z , por lo que se pueden sacar fuera de la integral. Si la temperatura varía linealmente con z (por ejemplo, dado un pequeño cambio en z ), también se puede sacar fuera de la integral cuando se reemplaza con${\displaystyle {\overline {T_{v}}}}$, la temperatura virtual promedio entre${\displaystyle z_{1}}$y${\displaystyle z_{2}}$.

${\displaystyle \int _{p(z_{1})}^{p(z_{2})}{\frac {\mathrm {d} p}{p}}={\frac {-g}{R\cdot {\overline {T_{v}}}}}\int _{z_{1}}^{z_{2}}\,\mathrm {d} z.}$

La integración da

${\displaystyle \ln \left({\frac {p(z_{2})}{p(z_{1})}}\right)={\frac {-g}{R\cdot {\overline {T_{v}}}}}(z_{2}-z_{1}),}$

simplificando a

${\displaystyle \ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right)={\frac {g}{R\cdot {\overline {T_{v}}}}}(z_{2}-z_{1}).}$

Reorganizando:

${\displaystyle z_{2}-z_{1}={\frac {R\cdot {\overline {T_{v}}}}{g}}\ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right),}$

o bien, eliminando el logaritmo natural:

${\displaystyle {\frac {p_{1}}{p_{2}}}=e^{{\frac {g}{R\cdot {\overline {T_{v}}}}}\cdot (z_{2}-z_{1})}.}$

El efecto Eötvös puede tenerse en cuenta como una corrección a la ecuación hipsométrica. Físicamente, utilizando un marco de referencia que rota con la Tierra, una masa de aire que se mueve hacia el este pesa efectivamente menos, lo que corresponde a un aumento en el espesor entre los niveles de presión, y viceversa. La ecuación hipsométrica corregida es la siguiente: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle h=z_{2}-z_{1}={\frac {R\cdot {\overline {T_{v}}}}{g(1+A)}}\cdot \ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right),}$$ donde la corrección debida al efecto Eötvös , A, puede expresarse de la siguiente manera: $${\displaystyle A=-{\frac {1}{g}}\left(2\Omega {\overline {u}}\cos \phi +{\frac {{\overline {u}}^{2}+{\overline {v}}^{2}}{r}}\right),}$$ dónde

• ${\displaystyle \Omega }$= Velocidad de rotación de la Tierra,
• ${\displaystyle \phi }$= latitud,
• ${\displaystyle r}$= distancia desde el centro de la Tierra a la masa de aire,
• ${\displaystyle {\overline {u}}}$= velocidad media en dirección longitudinal (este-oeste), y
• ${\displaystyle {\overline {v}}}$= velocidad media en dirección latitudinal (norte-sur).

Esta corrección es considerable en el movimiento atmosférico a gran escala en los trópicos.

• Fórmula barométrica
• Variación de la presión vertical