Número hiperperfecto

En teoría de números , un número k -hiperperfecto es un número natural n para el cual se cumple la igualdad, donde σ ( n ) es la función divisora ​​(es decir, la suma de todos los divisores positivos de n ). Un número hiperperfecto es un número k -hiperperfecto para algún entero k . Los números hiperperfectos generalizan los números perfectos , que son 1-hiperperfectos. ^[1]${\displaystyle n=1+k(\sigma (n)-n-1)}$

Los primeros números de la secuencia de k -hiperperfectos son 6, 21, 28, 301, 325, 496, 697, ... (secuencia A034897 en la OEIS ), siendo los valores correspondientes de k 1 , 2, 1, 6, 3, 1, 12, ... (secuencia A034898 en la OEIS ). Los primeros números k -hiperperfectos que no son perfectos son 21, 301, 325, 697, 1333, ... (secuencia A007592 en la OEIS ).

La siguiente tabla enumera los primeros k -números hiperperfectos para algunos valores de k , junto con el número de secuencia en la Enciclopedia en línea de secuencias de enteros (OEIS) de la secuencia de k -números hiperperfectos:

Se puede demostrar que si k > 1 es un entero impar y y son números primos , entonces ⁠ ⁠ es k -hiperperfecto; Judson S. McCranie ha conjeturado en 2000 que todos los números k -hiperperfectos para k > 1 impar son de esta forma, pero la hipótesis no ha sido probada hasta ahora. Además, se puede demostrar que si p ≠ q son primos impares y k es un entero tal que entonces pq es k -hiperperfecto. ${\displaystyle p={\frac {3k+1}{2}}}$${\displaystyle q=3k+4}$$estilo de visualización p^{2}q$${\displaystyle k(p+q)=pq-1,}$

También es posible demostrar que si k > 0 y es primo, entonces para todo i > 1 tal que sea primo, es k -hiperperfecto. La siguiente tabla enumera los valores conocidos de k y los valores correspondientes de i para los que n es k -hiperperfecto: ${\displaystyle p=k+1}$${\displaystyle q=p^{i}-p+1}$${\displaystyle n=p^{i-1}q}$

Hay algunos números pares que son hiperperfectos para factores impares, es decir, k * (suma de factores impares excepto 1 y él mismo) + 1 = número. por ejemplo, los primeros 5 incluyen 1300, 271872, 304640, 953344 y 1027584 para k = 3, 349, 353, 837 y 353. Todos los números hiperperfectos impares son números hiperperfectos de factores impares, ya que solo tienen factores impares y no tienen factores pares.

1300 tiene factores = 1, 2, 4, 5, 10, 13, 20, 25, 26, 50, 52, 65, 100, 130, 260, 325, 650, 1300

Tiene factores impares excepto 1 y él mismo = 5, 13, 25, 65, 325

Suma de factores impares excepto 1 y él mismo = 5 + 13 + 25 + 65 + 325 = 433

1300 - 1 = 1299 y 1299/433 = 3, un número entero ^{[ cita necesaria ] [ aclaración necesaria ]}

El concepto matemático recién introducido de hiperdeficiencia está relacionado con los números hiperperfectos .

Definición (Minoli 2010): Para cualquier entero n y para el entero k > 0 , defina la k -hiperdeficiencia (o simplemente la hiperdeficiencia) para el número n como

$${\displaystyle \delta _{k}(n)=n(k+1)+(k-1)-k\sigma (n)}$$

Se dice que un número n es k -hiperdeficiente si${\displaystyle \delta _ {k}(n)>0.}$

Nótese que para k = 1 se obtiene , que es la definición tradicional estándar de deficiencia . ${\displaystyle \delta _{1}(n)=2n-\sigma (n),}$

Lema: Un número n es k -hiperperfecto (incluyendo k = 1 ) si y sólo si la k -hiperdeficiencia de n ,${\displaystyle \delta _ {k}(n)=0.}$

Lema: Un número n es k -hiperperfecto (incluyendo k = 1 ) si y sólo si para algún k , para al menos un j > 0 . ${\displaystyle \delta {kj}(n)=-\delta _{k+j}(n)}$

• Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006). Manual de teoría de números I. Dordrecht: Springer-Verlag . pag. 114.ISBN​ 1-4020-4215-9.Zbl 1151.11300  .

• Minoli, Daniel; Bear, Robert (otoño de 1975), "Números hiperperfectos", Pi Mu Epsilon Journal , 6 (3): 153–157.
• Minoli, Daniel (diciembre de 1978), "Formas suficientes para números perfectos generalizados", Annales de la Facultad de Ciencias UNAZA , 4 (2): 277–302.
• Minoli, Daniel (febrero de 1981), "Cuestiones estructurales para números hiperperfectos", Fibonacci Quarterly , 19 (1): 6–14.
• Minoli, Daniel (abril de 1980), "Problemas en números hiperperfectos no lineales", Mathematics of Computation , 34 (150): 639–645, doi : 10.2307/2006107 , JSTOR  2006107.
• Minoli, Daniel (octubre de 1980), "Nuevos resultados para números hiperperfectos", Resúmenes de la American Mathematical Society , 1 (6): 561.
• Minoli, Daniel; Nakamine, W. (1980). "Números de Mersenne con raíz 3 para transformaciones teóricas de números". ICASSP '80. IEEE International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing . Vol. 5. págs. 243–247. doi :10.1109/ICASSP.1980.1170906..
• McCranie, Judson S. (2000), "Un estudio de números hiperperfectos", Journal of Integer Sequences , 3 : 13, Bibcode :2000JIntS...3...13M, archivado desde el original el 2004-04-05.
• te Riele, Herman JJ (1981), "Números hiperperfectos con tres factores primos diferentes", Math. Comp. , 36 (153): 297–298, doi : 10.1090/s0025-5718-1981-0595066-9 , MR  0595066, Zbl  0452.10005.
• te Riele, Herman JJ (1984), "Reglas para construir números hiperperfectos", Fibonacci Q. , 22 : 50–60, Zbl  0531.10005.

• Daniel Minoli, Voice over MPLS , McGraw-Hill, Nueva York, NY, 2002, ISBN 0-07-140615-8 (pág. 114-134) 

• MathWorld: Número hiperperfecto
• Una larga lista de números hiperperfectos en Datos