Función hipergeométrica de un argumento matricial

En matemáticas , la función hipergeométrica de un argumento matricial es una generalización de la serie hipergeométrica clásica . Es una función definida por una suma infinita que puede utilizarse para evaluar ciertas integrales multivariables.

Las funciones hipergeométricas de un argumento matricial tienen aplicaciones en la teoría de matrices aleatorias . Por ejemplo, las distribuciones de los valores propios extremos de matrices aleatorias se expresan a menudo en términos de la función hipergeométrica de un argumento matricial.

Dejar${\displaystyle p\geq 0}$y${\displaystyle q\geq 0}$sean números enteros, y sea ${\displaystyle X}$frijol${\displaystyle m\times m}$matriz simétrica compleja. Luego, la función hipergeométrica de un argumento matricial.${\displaystyle X}$ y parámetro${\displaystyle \alpha >0}$se define como

${\displaystyle _{p}F_{q}^{(\alpha )}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};X)=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{\kappa \vdash k}{\frac {1}{k!}}\cdot {\frac {(a_{1})_{\kappa }^{(\alpha )}\cdots (a_{p})_{\kappa }^{(\alpha )}}{(b_{1})_{\kappa }^{(\alpha )}\cdots (b_{q})_{\kappa }^{(\alpha )}}}\cdot C_{\kappa }^{(\alpha )}(X),}$

dónde${\displaystyle \kappa \vdash k}$medio${\displaystyle \kappa }$es una partición de${\displaystyle k}$,${\displaystyle (a_{i})_{\kappa }^{(\alpha )}}$es el símbolo generalizado de Pochhammer y ${\displaystyle C_{\kappa }^{(\alpha )}(X)}$es la normalización "C" de la función Jack .

Si${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$son dos${\displaystyle m\times m}$Para matrices simétricas complejas, la función hipergeométrica de dos argumentos matriciales se define como:

${\displaystyle _{p}F_{q}^{(\alpha )}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};X,Y)=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{\kappa \vdash k}{\frac {1}{k!}}\cdot {\frac {(a_{1})_{\kappa }^{(\alpha )}\cdots (a_{p})_{\kappa }^{(\alpha )}}{(b_{1})_{\kappa }^{(\alpha )}\cdots (b_{q})_{\kappa }^{(\alpha )}}}\cdot {\frac {C_{\kappa }^{(\alpha )}(X)C_{\kappa }^{(\alpha )}(Y)}{C_{\kappa }^{(\alpha )}(I)}},}$

dónde${\displaystyle I}$es la matriz identidad de tamaño${\displaystyle m}$.

A diferencia de otras funciones de argumento matricial, como la exponencial matricial , que son valores matriciales, la función hipergeométrica de (uno o dos) argumentos matriciales es de valor escalar.

En muchas publicaciones el parámetro${\displaystyle \alpha }$se omite. Además, en diferentes publicaciones se muestran diferentes valores de${\displaystyle \alpha }$se asumen implícitamente. Por ejemplo, en la teoría de matrices aleatorias reales (véase, por ejemplo, Muirhead, 1984),${\displaystyle \alpha =2}$mientras que en otros contextos (por ejemplo, en el caso complejo—véase Gross y Richards, 1989),${\displaystyle \alpha =1}$Para empeorar las cosas, en la teoría de matrices aleatorias los investigadores tienden a preferir un parámetro llamado${\displaystyle \beta }$en lugar de${\displaystyle \alpha }$que se utiliza en combinatoria.

Lo que hay que recordar es que

${\displaystyle \alpha ={\frac {2}{\beta }}.}$

Se debe tener cuidado en cuanto a si un texto en particular está utilizando un parámetro.${\displaystyle \alpha }$o${\displaystyle \beta }$y cuál es el valor particular de ese parámetro.

Normalmente, en entornos que involucran matrices aleatorias reales,${\displaystyle \alpha =2}$y por lo tanto${\displaystyle \beta =1}$. En entornos que involucran matrices aleatorias complejas, uno tiene${\displaystyle \alpha =1}$y${\displaystyle \beta =2}$.

• KI Gross y D. St. P. Richards, "Positividad total, series esféricas y funciones hipergeométricas de argumento matricial", J. Approx. Theory , 59 , n.º 2, 224–246, 1989.
• J. Kaneko, "Integrales de Selberg y funciones hipergeométricas asociadas con polinomios de Jack", SIAM Journal on Mathematical Analysis , 24 , n.º 4, 1086-1110, 1993.
• Plamen Koev y Alan Edelman, "La evaluación eficiente de la función hipergeométrica de un argumento matricial", Mathematics of Computation , 75 , n.º 254, 833-846, 2006.
• Robb Muirhead, Aspectos de la teoría estadística multivariante , John Wiley & Sons, Inc., Nueva York, 1984.

• Software para calcular la función hipergeométrica de un argumento matricial, desarrollado por Plamen Koev.