Factor de tipo II hiperfinito

En matemáticas , salvo isomorfismo, existen exactamente dos factores hiperfinitos de tipo II que actúan de forma separable : uno infinito y otro finito. Murray y von Neumann demostraron que, salvo isomorfismo, existe un único álgebra de von Neumann que es un factor de tipo II ₁ y también hiperfinito ; se le denomina factor hiperfinito de tipo II _{1. Existen otros factores de tipo II 1} incontables . Connes demostró que el factor infinito también es único.

• El álgebra de grupo de von Neumann de un grupo discreto con la propiedad de clase de conjugación infinita es un factor de tipo II ₁ , y si el grupo es amenable y numerable, el factor es hiperfinito. Existen muchos grupos con estas propiedades, ya que cualquier grupo localmente finito es amenable. Por ejemplo, el álgebra de grupo de von Neumann del grupo simétrico infinito de todas las permutaciones de un conjunto infinito numerable que fijan todos los elementos excepto un número finito da como resultado un factor hiperfinito de tipo II _{1 .}
• El factor hiperfinito de tipo II ₁ también surge de la construcción del espacio de medida de grupo para acciones ergódicas libres que preservan la medida de grupos numerables amenables en espacios de probabilidad.
• El producto tensorial infinito de un número contable de factores de tipo I _n con respecto a sus estados trazales es el factor hiperfinito de tipo II _{1. Cuando} n = 2, esto también se denomina a veces álgebra de Clifford de un espacio de Hilbert separable infinito.
• Si p es cualquier proyección finita no nula en un álgebra de von Neumann hiperfinita A de tipo II, entonces pAp es el factor _{1 hiperfinito de tipo II. Equivalentemente, el} grupo fundamental de A es el grupo de los números reales positivos . Esto a menudo puede ser difícil de ver directamente. Sin embargo, es obvio cuando A es el producto tensorial infinito de factores de tipo I _n , donde n recorre todos los enteros mayores que 1 infinitas veces: simplemente tome p equivalente a un producto tensorial infinito de proyecciones p _n en las que el estado traza es o${\displaystyle 1}$o${\displaystyle 1-1/n}$.

The hyperfinite II₁ factor R is the unique smallest infinite dimensional factor in the following sense: it is contained in any other infinite dimensional factor, and any infinite dimensional factor contained in R is isomorphic to R.

The outer automorphism group of R is an infinite simple group with countable many conjugacy classes, indexed by pairs consisting of a positive integer p and a complex pth root of 1.

The projections of the hyperfinite II₁ factor form a continuous geometry.

While there are other factors of type II_∞, there is a unique hyperfinite one, up to isomorphism. It consists of those infinite square matrices with entries in the hyperfinite type II₁ factor that define bounded operators.

• Subfactors

• A. Connes, Classification of Injective Factors The Annals of Mathematics 2nd Ser., Vol. 104, No. 1 (Jul., 1976), pp. 73–115
• F.J. Murray, J. von Neumann, On rings of operators IV Ann. of Math. (2), 44 (1943) pp. 716–808. This shows that all approximately finite factors of type II₁ are isomorphic.