Variación de la presión vertical

La variación de presión vertical es la variación de la presión en función de la altura . Dependiendo del fluido en cuestión y del contexto, también puede variar significativamente en dimensiones perpendiculares a la altura, y estas variaciones son relevantes en el contexto de la fuerza del gradiente de presión y sus efectos. Sin embargo, la variación vertical es especialmente significativa, ya que resulta de la atracción gravitatoria sobre el fluido; es decir, para un mismo fluido, una disminución de la altura corresponde a una columna de fluido más alta que ejerce presión sobre ese punto.

Una versión relativamente simple ^{[ 1 ]} de la variación de la presión vertical del fluido es simplemente que la diferencia de presión entre dos elevaciones es el producto del cambio de elevación, la gravedad y la densidad . La ecuación es la siguiente: $${\displaystyle {\frac {dP}{dh}}=-\rho g,}$$ dónde

• P es la presión,
• ρ es la densidad,
• g es la aceleración de la gravedad y
• h es la altura .

El símbolo delta indica un cambio en una variable dada. Dado que g es negativo, un aumento de altura corresponderá a una disminución de la presión, lo cual concuerda con el razonamiento mencionado anteriormente sobre el peso de una columna de fluido.

Cuando la densidad y la gravedad son aproximadamente constantes (es decir, para cambios de altura relativamente pequeños), simplemente multiplicar la diferencia de altura, la gravedad y la densidad dará como resultado una buena aproximación de la diferencia de presión. Si se sabe que la presión en un punto de un líquido con densidad uniforme ρ es P ₀ , entonces la presión en otro punto es P ₁ :

${\displaystyle P_{1}=P_{0}-\rho g(h_{1}-h_{0})}$

donde h ₁ - h ₀ es la distancia vertical entre los dos puntos. ^{[ 2 ]}

Cuando se superponen diferentes fluidos, la diferencia de presión total se obtiene sumando las dos diferencias de presión: la primera desde el punto 1 hasta el límite y la segunda desde el límite hasta el punto 2. Esto implica simplemente sustituir los valores de ρ y Δh para cada fluido y sumar los resultados. Si la densidad del fluido varía con la altura, se requiere una integración matemática.

La posibilidad de aproximar razonablemente la densidad y la gravedad como constantes depende del nivel de precisión requerido, pero también de la magnitud de la diferencia de altura, ya que la gravedad y la densidad disminuyen con la altitud. En el caso particular de la densidad, el fluido en cuestión también es relevante; el agua de mar , por ejemplo, se considera un fluido incompresible ; su densidad puede variar con la altura, pero mucho menos que la del aire. Por lo tanto, la densidad del agua puede aproximarse de forma más razonable como constante que la del aire, y, dada la misma diferencia de altura, las diferencias de presión en el agua son aproximadamente iguales a cualquier altura.

La fórmula barométrica depende únicamente de la altura de la cámara de fluido, y no de su ancho o longitud. Con una altura suficientemente grande, se puede alcanzar cualquier presión. Esta característica de la hidrostática se ha denominado la paradoja hidrostática . Como lo expresó WH Besant , ^{[ 3 ]}

Cualquier cantidad de líquido, por pequeña que sea, puede utilizarse para soportar cualquier peso, por grande que sea.

El científico flamenco Simon Stevin fue el primero en explicar matemáticamente la paradoja. ^{[ 4 ]} En 1916, Richard Glazebrook mencionó la paradoja hidrostática al describir un montaje que atribuyó a Pascal : un peso pesado W descansa sobre una tabla de área A que descansa sobre una vejiga de fluido conectada a un tubo vertical de área de sección transversal α . Verter agua de peso w por el tubo eventualmente elevará el peso pesado. El equilibrio de fuerzas conduce a la ecuación

${\displaystyle W={\frac {wA}{\alpha }}.}$

Glazebrook afirma: «Al aumentar considerablemente el área de la tabla y reducir la del tubo, un gran peso W puede ser soportado por un pequeño peso w de agua. Este hecho se conoce a veces como la paradoja hidrostática». ^{[ 5 ]}

La maquinaria hidráulica emplea este fenómeno para multiplicar la fuerza o el par. Las demostraciones de la paradoja hidrostática se utilizan para enseñar este fenómeno. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

Si se analiza la variación de presión vertical de la atmósfera terrestre , la escala de longitud es muy significativa ( la troposfera por sí sola tiene varios kilómetros de altura; la termosfera , varios cientos de kilómetros) y el fluido involucrado (aire) es compresible. La gravedad aún puede aproximarse razonablemente como constante, porque las escalas de longitud del orden de kilómetros son pequeñas en comparación con el radio de la Tierra, que es en promedio de unos 6371  km, ^{[ 8 ]} y la gravedad es una función de la distancia al núcleo terrestre. ^{[ 9 ]}

La densidad, por otro lado, varía de forma más significativa con la altura. De la ley de los gases ideales se deduce que $${\displaystyle \rho ={\frac {mP}{kT}},}$$ dónde

• m es la masa promedio por molécula de aire ,
• P es la presión en un punto dado,
• k es la constante de Boltzmann ,
• T es la temperatura en kelvin .

Dicho de forma más sencilla, la densidad del aire depende de la presión atmosférica. Dado que la presión atmosférica también depende de la densidad atmosférica, sería fácil tener la impresión de que se trata de una definición circular , pero simplemente es una interdependencia de diferentes variables. Esto da como resultado una fórmula más precisa, de la forma $${\displaystyle P_{h}=P_{0}e^{-{\frac {mgh}{kT}}},}$$ dónde

• Ph es la presión a una _altura h ,
• P ₀ es la presión en el punto de referencia 0 (que normalmente se refiere al nivel del mar),
• m es la masa por molécula de aire,
• g es la aceleración debida a la gravedad ,
• h es la altura desde el punto de referencia 0,
• k es la constante de Boltzmann ,
• T es la temperatura en kelvin.

Por lo tanto, en lugar de que la presión sea una función lineal de la altura, como cabría esperar de la fórmula más sencilla que se da en la sección de "fórmulas básicas", se representa con mayor precisión como una función exponencial de la altura.

Cabe señalar que, en esta simplificación, la temperatura se considera constante, aunque también varía con la altura. Sin embargo, la variación de temperatura en las capas inferiores de la atmósfera ( troposfera , estratosfera ) es de apenas unas decenas de grados, a diferencia de su temperatura termodinámica , que es de cientos, por lo que la variación de temperatura es relativamente pequeña y, por lo tanto, se ignora. Para diferencias de altura menores, incluidas las que existen entre la cima y la base incluso de los edificios más altos (como la Torre CN ), o para montañas de tamaño comparable, la variación de temperatura será fácilmente de un solo dígito. (Véase también gradiente térmico vertical ).

Se utiliza una derivación alternativa, mostrada por la Sociedad Aeroespacial del Estado de Portland, ^{[ 10 ]} para expresar la altura en función de la presión. Esto puede parecer contraintuitivo, ya que la presión resulta de la altura y no al revés, pero dicha fórmula puede ser útil para calcular la altura a partir de la diferencia de presión cuando se conoce esta última pero no la primera. Se presentan diferentes fórmulas para distintos tipos de aproximaciones; para compararlas con la fórmula anterior, la primera referenciada en el artículo será la que aplica la misma aproximación de temperatura constante; en cuyo caso: $${\displaystyle z=-{\frac {RT}{g}}\ln {\frac {P}{P_{0}}}}$$ donde (con los valores utilizados en el artículo)

• z es la elevación en metros,
• R es la constante específica de los gases =287,053  J/(kg K)
• T es la temperatura absoluta en kelvin =288,15  K a nivel del mar,
• g es la aceleración debida a la gravedad =9,806 65  m/s ² a nivel del mar,
• P es la presión en un punto dado a una elevación z en pascales , y
• P ₀ es la presión en el punto de referencia =101.325  Pa al nivel del mar.

Una fórmula más general, derivada en el mismo artículo, tiene en cuenta un cambio lineal de la temperatura en función de la altura (gradiente térmico vertical) y se reduce a lo anterior cuando la temperatura es constante: $${\displaystyle z={\frac {T_{0}}{L}}\left(\left({\frac {P}{P_{0}}}\right)^{-{\frac {LR}{g}}}-1\right)}$$ dónde

• L es el gradiente térmico atmosférico (cambio de temperatura dividido por la distancia) =−6,5 × 10 ⁻³  K/m , y
• T ₀ es la temperatura en el mismo punto de referencia para el cual P = P ₀

y las demás cantidades son las mismas que las indicadas anteriormente. Esta es la fórmula recomendada.

• Barómetro
• ecuación hipsométrica
• El barril de Pascal
• Ruina montium
• gradiente de presión
• Sifón

• Merlino, Robert L. (2003). "Estática: Fluidos en reposo" . Recuperado el 20 de noviembre de 2014 .

Contenido multimedia relacionado con la paradoja hidrostática en Wikimedia Commons.