simulación estocástica híbrida

El algoritmo evita la simulación explícita de trayectorias largas con grandes desviaciones y, por lo tanto, prescinde de la necesidad de una distancia de corte arbitraria para el dominio infinito. El algoritmo consiste en mapear la posición de la fuente a una semiesfera que contiene las ventanas absorbentes. Dentro de la esfera, se ejecutan simulaciones brownianas clásicas hasta que la partícula es absorbida o sale a través de la superficie de la esfera. El algoritmo consta de los siguientes pasos:

1. La fuente libera una partícula en la posición${\displaystyle x(t=0)=x_{0}}$.
2. Si${\displaystyle |x(t)|>R'}$mapear la posición de la partícula a la superficie de la esfera S(R), utilizando la distribución del punto de salida${\displaystyle P_{map}}$En tres dimensiones, existe una probabilidad finita de que una partícula browniana escape al infinito, momento en el que finaliza su trayectoria.
3. En el primer paso de tiempo,${\displaystyle t=\Delta t,|x^{t}|>R',}$usar el mapeo,${\displaystyle P_{map}}$para mapear la posición de la partícula a la esfera S(R). Esto conduce a una secuencia de posiciones mapeadas.${\displaystyle x_{1},..x_{n}}$hasta que la partícula sea absorbida. Cabe señalar que, para esta transformación, existe nuevamente una probabilidad finita de que la partícula escape al infinito, en cuyo caso la trayectoria finaliza.
4. El esquema de Euler-Maruyama se puede utilizar para realizar un paso browniano:${\displaystyle x(t)=x(t-\Delta t)+{\sqrt {2D\Delta t}}\mathbf {R} ,}$dónde ${\displaystyle \mathbf {R} }$es un vector de variables aleatorias normales estándar .
5. Cuando${\displaystyle x(t)\cdot \mathbf {e} _{z}\leq 0}$(en el caso de un semi-espacio) o${\displaystyle |x(t)|\leq 1}$(en el caso de la esfera), y${\displaystyle |x(t)-x_{i}|<\epsilon }$Para cualquier valor i , se considera que la partícula está siendo absorbida por la ventana i y se termina la trayectoria.
6. Si la partícula cruza algún límite reflectante, vuelva al paso 3 para generar una nueva posición. De lo contrario, regrese al paso 2.

Se puede representar gráficamente la trayectoria de una pelota en 3D para obtener la probabilidad de primer paso para golpearla antes de que escape al infinito. La representación gráfica es la siguiente:

${\displaystyle P_{map}(x|y)={\frac {|y|}{R}}{\frac {1}{4\pi }}{\frac {\beta ^{2}-1}{(1+\beta ^{2}-2\beta \cos \gamma )^{3/2}}}}$, con${\displaystyle \int _{\partial B(R)}P(x,y)dS_{x}=\beta ^{-1}={\frac {R}{|y|}},}$y${\displaystyle |x||y|\cos \gamma =x\cdot y.}$

La distribución de probabilidad de impacto se obtiene normalizando la integral del flujo.

La elección del radio R es arbitraria siempre que la esfera S(R) encierre todas las ventanas con un búfer de al menos tamaño${\displaystyle \epsilon }$El radio R' debe elegirse de manera que se eviten los cruces frecuentes, por ejemplo${\displaystyle R'\leq R+10{\sqrt {2D\Delta t}}.}$Este algoritmo puede utilizarse para simular trayectorias de partículas brownianas en estado estacionario cerca de una región de interés . Cabe destacar que no se utiliza ninguna aproximación.

El método de dos regímenes funciona mediante dos regímenes de interés. Una región se basa en eventos y utiliza principalmente enfoques basados ​​en compartimentos, mientras que la otra se basa en el tiempo y se apoya en regímenes moleculares. Los pasos del algoritmo son los siguientes:

1. Dividir el dominio computacional${\displaystyle \Omega }$en dos partes. Las partes no deben superponerse.
2. Determina qué parte del dominio se adaptaría mejor a un enfoque basado en compartimentos, etiquétala${\displaystyle \Omega _{C}}$El otro dominio será${\displaystyle \Omega _{M}}$Asegúrese de que se cumple lo siguiente:${\displaystyle \Omega =\Omega _{M}\cup \Omega _{C}}$.
3. Tratar moléculas en${\displaystyle \Omega _{M}}$como moléculas libres en un espacio continuo. Estas moléculas se difundirán y reaccionarán mediante enfoques basados ​​en la biología molecular.

Las moléculas saltan entre compartimentos mientras se encuentran en la región.${\displaystyle \Omega _{C}}$con la posibilidad de saltar a${\displaystyle \Omega _{M}}$donde el movimiento se simulará mediante el movimiento browniano . Existen muchas posibilidades para acoplar estas regiones, las cuales pueden variar según el propósito de la simulación.

Este algoritmo y otros desarrollados a partir de él se utilizan para estudiar la conversión de especies. También pueden acoplarse con la ecuación de Fokker-Planck para simular trayectorias poblacionales e individuales mediante simulaciones brownianas. ^{[ 6 ]}