Descomposición de Hopf

En matemáticas , la descomposición de Hopf , que recibe su nombre de Eberhard Hopf , proporciona una descomposición canónica de un espacio de medida ( X , μ) con respecto a una transformación no singular invertible T : X → X , es decir, una transformación que, junto con su inversa, es medible y transforma conjuntos nulos en conjuntos nulos. Salvo conjuntos nulos, X puede escribirse como una unión disjunta C ∐ D de conjuntos T -invariantes, donde la acción de T sobre C es conservativa y la acción de T sobre D es disipativa . Por lo tanto, si τ es el automorfismo de A = L ^∞ ( X ) inducido por T , existe una única proyección p -invariante τ en A tal que pA es conservativa y (I–p)A es disipativa.

• Conjuntos errantes y acciones disipativas. Un subconjunto medible W de X es errante si su función característica q = χ _W en A = L ^∞ ( X ) satisface q τ ⁿ ( q ) = 0 para todo n ; por lo tanto, salvo conjuntos nulos, las traslaciones T ⁿ ( W ) son disjuntas dos a dos. Una acción se llama disipativa si X = ∐ T ⁿ ( W ) ae para algún conjunto errante W .
• Acciones conservadoras. Si X no tiene subconjuntos errantes de medida positiva, se dice que la acción es conservadora .
• Acciones incompresibles. Se dice que una acción es incompresible si siempre que un subconjunto medible Z satisface T ( Z ) ⊆ Z , entonces Z \ TZ tiene medida cero. Por lo tanto, si q = χ _Z y τ( q ) ≤ q , entonces τ( q ) = q ae
• Acciones recurrentes. Se dice que una acción T es recurrente si q ≤ τ( q ) ∨ τ ² ( q ) ∨ τ ³ ( q ) ∨ ... ae para cualquier q = χ _Y .
• Acciones infinitamente recurrentes. Se dice que una acción T es infinitamente recurrente si q ≤ τ ^m ( q ) ∨ τ ^{m + 1} ( q ) ∨ τ ^{m +2} ( q ) ∨ ... ae para cualquier q = χ _Y y cualquier m ≥ 1.

Teorema. Si T es una transformación invertible en un espacio de medida ( X , μ) que preserva los conjuntos nulos, entonces las siguientes condiciones son equivalentes en T (o su inversa): ^{[ 1 ]}

1. T es conservador ;
2. T es recurrente;
3. T es infinitamente recurrente;
4. T es incompresible.

Dado que T es disipativo si y solo si T ⁻¹ es disipativo, se deduce que T es conservativo si y solo si T ⁻¹ es conservativo.

Si T es conservativo, entonces r = q ∧ (τ( q ) ∨ τ ² ( q ) ∨ τ ³ ( q ) ∨ ⋅⋅⋅) ^⊥ = q ∧ τ(1 - q ) ∧ τ ² (1 - q ) ∧ τ ³ ( q ) ∧ ... es errante de modo que si q < 1, necesariamente r = 0. Por lo tanto, q ≤ τ( q ) ∨ τ ² ( q ) ∨ τ ³ ( q ) ∨ ⋅⋅⋅, de modo que T es recurrente.

Si T es recurrente, entonces q ≤ τ( q ) ∨ τ ² ( q ) ∨ τ ³ ( q ) ∨ ⋅⋅⋅ Ahora supongamos por inducción que q ≤ τ ^k ( q ) ∨ τ ^{k +1} ( q ) ∨ ⋅⋅⋅. Entonces τ ^k ( q ) ≤ τ ^{k +1} ( q ) ∨ τ ^{k +2} ( q ) ∨ ⋅⋅⋅ ≤ . Por lo tanto, q ≤ τ ^{k +1} ( q ) ∨ τ ^{k +2} ( q ) ∨ ⋅⋅⋅. Así que el resultado se cumple para k +1 y por lo tanto T es infinitamente recurrente. Recíprocamente, por definición, una transformación infinitamente recurrente es recurrente.

Ahora supongamos que T es recurrente. Para demostrar que T es incompresible, debe demostrarse que, si τ( q ) ≤ q , entonces τ( q ) ≤ q . De hecho, en este caso τ ⁿ ( q ) es una sucesión decreciente. Pero por recurrencia, q ≤ τ( q ) ∨ τ ² ( q ) ∨ τ ³ ( q ) ∨ ⋅⋅⋅ , por lo que q ≤ τ( q ) y por lo tanto q = τ( q ).

Finalmente, supongamos que T es incompresible. Si T no es conservativo, existe un p ≠ 0 en A con los τ ⁿ ( p ) disjuntos (ortogonales). Pero entonces q = p ⊕ τ( p ) ⊕ τ ² ( p ) ⊕ ⋅⋅⋅ satisface τ( q ) < q con q − τ( q ) = p ≠ 0 , lo que contradice la incompresibilidad. Por lo tanto, T es conservativo.

Teorema. Si T es una transformación invertible en un espacio de medida ( X , μ ) que preserva conjuntos nulos e induce un automorfismo τ de A = L ^∞ ( X ), entonces existe un único τ -invariante p = χ _C en A tal que τ es conservativo en pA = L ^∞ ( C ) y disipativo en (1  − p ) A = L ^∞ ( D ) donde D = X \ C . ^{[ 2 ]}    

Sin pérdida de generalidad, se puede asumir que μ es una medida de probabilidad. Si T es conservador, no hay nada que demostrar, ya que en ese caso C = X. De lo contrario, hay un conjunto errante W para T. Sea r = χ _W y q = ⊕ τ ⁿ ( r ). Por lo tanto, q es τ -invariante y disipativo. Además , μ ( q ) > 0. Claramente, una suma directa ortogonal de tales q ′ s disipativos τ -invariantes también es τ -invariante y disipativo; y si q es τ -invariante y disipativo y r < q es τ -invariante, entonces r es disipativo. Por lo tanto, si q ₁ y q ₂ son τ -invariantes y disipativos, entonces q ₁ ∨ q ₂ es τ -invariante y disipativo, ya que q ₁ ∨ q ₂ = q ₁ ⊕ q ₂ (1 − q ₁ ). Ahora sea M el supremo de todos los μ ( q ) con q τ -invariante y disipativo. Tomemos q _n τ -invariante y disipativo tal que μ ( q _n ) aumenta a M . Reemplazando q _n por q ₁ ∨ ⋅⋅⋅ ∨ q _n , se puede suponer que q _n está aumentando a q digamos. Por continuidad q es τ -invariante y μ ( q ) = M . Por maximalidad p = I − q es conservativo. La unicidad es clara ya que ningún τ -invariante r < p es disipativo y todo τ -invariante r < q es disipativo.  

Corolario. La descomposición de Hopf para T coincide con la descomposición de Hopf para T ⁻¹ .

Dado que una transformación es disipativa en un espacio de medida si y solo si su inversa es disipativa, las partes disipativas de T y T ⁻¹ coinciden. Por lo tanto, también coinciden las partes conservativas.

Corolario. La descomposición de Hopf para T coincide con la descomposición de Hopf para T ⁿ para n > 1.

Si W es un conjunto errante para T, entonces es un conjunto errante para T ⁿ . Por lo tanto, la parte disipativa de T está contenida en la parte disipativa de T ⁿ . Sea σ = τ ⁿ . Para probar el recíproco, basta con mostrar que si σ es disipativa, entonces τ es disipativa. Si no, usando la descomposición de Hopf, se puede suponer que σ es disipativa y τ conservativa. Supongamos que p es una proyección errante no nula para σ. Entonces τ ^a ( p ) y τ ^b ( p ) son ortogonales para diferentes a y b en la misma clase de congruencia módulo n . Tomemos un conjunto de τ ^a ( p ) con producto no nulo y tamaño máximo. Por lo tanto | S | ≤ n . Por maximalidad, r es errante para τ, una contradicción.

Corolario. Si una transformación invertible T actúa ergódicamente pero no transitivamente sobre el espacio de medida ( X , μ ) preservando conjuntos nulos y B es un subconjunto con μ ( B ) > 0, entonces el complemento de B ∪ TB ∪ T ² B ∪ ⋅⋅⋅ tiene medida cero.

Nótese que la ergodicidad y la no transitividad implican que la acción de T es conservativa y, por lo tanto, infinitamente recurrente. Pero entonces B ≤ T ^m ( B ) ∨ T ^{m + 1} ( B ) ∨ T ^{m +2} ( B ) ∨ ... para cualquier m ≥ 1. Aplicando T ^{− m} , se deduce que T ^{− m} ( B ) se encuentra en Y = B ∪ TB ∪ T ² B ∪ ⋅⋅⋅ para todo m > 0. Por ergodicidad μ ( X \ Y ) = 0.

Sea ( X ,μ) un espacio de medida y S _t un flujo no singular en X que induce un grupo de automorfismos de 1 parámetro σ _t de A = L ^∞ ( X ). Se asumirá que la acción es fiel, de modo que σ _t es la identidad solo para t = 0. Para cada S _t o equivalentemente σ _t con t ≠ 0 hay una descomposición de Hopf, de modo que un p _t fijado por σ _t tal que la acción es conservativa en p _t A y disipativa en (1− p _t ) A .

• Para s , t ≠ 0 las partes conservativa y disipativa de S _s y S _t coinciden si s / t es racional. ^{[ 3 ]}

Esto se deduce del hecho de que para cualquier transformación invertible no singular, las partes conservativa y disipativa de T y T ⁿ coinciden para n ≠ 0.

• Si S ₁ es disipativa en A = L ^∞ ( X ), entonces existe una medida invariante λ en A y p en A tal que

1. p > σ _t ( p ) para todo t > 0
2. λ( p – σ _t ( p )) = t para todo t > 0
3. σ _t ( p )${\displaystyle \uparrow }$1 cuando t tiende a −∞ y σ _t ( p )${\displaystyle \downarrow }$0 cuando t tiende a +∞.

Sea T = S ₁ . Tomemos q un conjunto errante para T tal que ⊕ τ ⁿ ( q ) = 1. Cambiando μ a una medida equivalente, se puede suponer que μ( q ) = 1, de modo que μ se restringe a una medida de probabilidad en qA . Transportando esta medida a τ ⁿ ( q ) A , se puede suponer además que μ es τ-invariante en A . Pero entonces λ = ∫ ¹ ₀ μ ∘ σ _t dt es una medida σ-invariante equivalente en A que puede reescalarse si es necesario de modo que λ( q ) = 1. Los r en A que vagan para T (o τ) con ⊕ τ ⁿ ( r ) = 1 se describen fácilmente: están dados por r = ⊕ τ ⁿ ( q _n ) donde q = ⊕ q _n es una descomposición de q . En particular λ( r ) =1. Además, si p satisface p > τ( p ) y τ ^{– n} ( p )${\displaystyle \uparrow }$1, entonces λ( p – τ( p )) = 1, aplicando el resultado a r = p – τ( p ). Los mismos argumentos muestran que, a la inversa, si r es vaga para τ y λ( r ) = 1, entonces ⊕ τ ⁿ ( r ) = 1 .

Sea Q = q ⊕ τ( q ) ⊕ τ ² ( q ) ⊕ ⋅⋅⋅ de modo que τ ^k ( Q ) < Q para k ≥ 1. Entonces a = ∫ ^∞ ₀ σ _t ( q ) dt = Σ _{k ≥0} ∫ ¹ ₀ σ _{k + t} ( q ) dt = ∫ ¹ ₀ σ _t ( Q ) dt de modo que 0 ≤ a ≤ 1 en A . Por definición σ _s ( a ) ≤ a para s ≥ 0, ya que a − σ _s ( a ) = ∫ ^∞ _s σ _t ( q ) dt . Las mismas fórmulas muestran que σ _s ( a ) tiende a 0 o 1 cuando s tiende a +∞ o −∞. Sea p = χ _[ε,1] (a) para 0 < ε < 1. Entonces σ _s ( p ) = χ _[ε,1] (σ _s ( a )). Se deduce inmediatamente que σ _s ( p ) ≤ p para s ≥ 0. Además, σ _s ( p )${\displaystyle \downarrow }$0 cuando s tiende a +∞ y σ _s ( p )${\displaystyle \uparrow }$1 cuando s tiende a − ∞. La primera fórmula límite se deduce porque 0 ≤ ε ⋅ σ _s ( p ) ≤ σ _s ( a ). Ahora se puede aplicar el mismo razonamiento a τ ⁻¹ , σ _{− t} , τ ⁻¹ ( q ) y 1 – ε en lugar de τ, σ _t , q y ε. Entonces se comprueba fácilmente que las cantidades correspondientes a a y p son 1 − a y 1 − p . En consecuencia, σ _{− t} (1− p )${\displaystyle \downarrow }$0 cuando t tiende a ∞. Por lo tanto, σ _s ( p )${\displaystyle \uparrow }$1 cuando s tiende a − ∞. En particular , p ≠ 0 , 1.

Entonces r = p − τ( p ) es errante para τ y ⊕ τ ^k ( r ) = 1. Por lo tanto λ( r ) = 1. Se sigue que λ( p −σ _s ( p ) ) = s para s = 1/ n y por lo tanto para todo s racional > 0. Dado que la familia σ _s ( p ) es continua y decreciente, por continuidad la misma fórmula también se cumple para todo s real > 0. Por lo tanto p satisface todas las condiciones afirmadas.

• Las partes conservativa y disipativa de S _t para t ≠ 0 son independientes de t . ^{[ 4 ]}

El resultado anterior muestra que si S _t es disipativo en X para t ≠ 0, entonces también lo es todo S _s para s ≠ 0. Por unicidad, S _t y S _s conservan las partes disipativas del otro. Por lo tanto, cada uno es disipativo en la parte disipativa del otro, de modo que las partes disipativas coinciden. En consecuencia, las partes conservativas coinciden.

• flujo ergódico

• Aaronson, Jon (1997), Introducción a la teoría ergódica infinita , Mathematical Surveys and Monographs, vol.  50, American Mathematical Society , ISBN 0-8218-0494-4
• Hopf, Eberhard (1937), Ergodentheorie (en alemán), Springer
• Krengel, Ulrich (1968), "Darstellungssätze für Strömungen und Halbströmungen I", Math. Annalen (en alemán), 176 : 181-190
• Krengel, Ulrich (1985), Teoremas ergódicos , Estudios De Gruyter en Matemáticas, vol.  6, de Gruyter, ISBN 3-11-008478-3