Conjetura de Hopf

En matemáticas, la conjetura de Hopf puede referirse a una de las diversas afirmaciones conjeturales de la geometría diferencial y la topología atribuidas a Heinz Hopf .

La conjetura de Hopf es un problema abierto en la geometría riemanniana global. Se remonta a las preguntas de Heinz Hopf de 1931. Una formulación moderna es:

Una variedad riemanniana compacta de dimensión par con curvatura seccional positiva tiene una característica de Euler positiva . Una variedad riemanniana compacta de dimensión (2d ) con curvatura seccional negativa tiene una característica de Euler de signo${\displaystyle (-1)^{d}}$.

Para superficies , estas afirmaciones se derivan del teorema de Gauss-Bonnet . Para variedades de cuatro dimensiones , esto se deriva de la finitud del grupo fundamental y la dualidad de Poincaré y la fórmula de Euler-Poincaré que iguala para variedades de 4 dimensiones la característica de Euler con${\displaystyle b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+b_{4}}$y el teorema de Synge , que asegura que la cubierta de orientación es simplemente conexa, de modo que los números de Betti se anulan.${\displaystyle b_{1}=b_{3}=0}$Para variedades de dimensión 4, la afirmación también se deduce del teorema de Chern-Gauss-Bonnet , observado por John Milnor en 1955 (escrito por Shiing-Shen Chern en 1955 ^{[ 1 ]} ). Para variedades de dimensión 6 o superior, la conjetura está abierta. Un ejemplo de Robert Geroch mostró que el integrando de Chern-Gauss-Bonnet puede volverse negativo para${\displaystyle d>2}$. ^{[ 2 ]} Se sabe que el caso de curvatura positiva se cumple, sin embargo, para hipersuperficies en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2d+1}}$(Hopf) o superficies de codimensión dos incrustadas en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2d+2}}$[ ^{3 ] Para variedades de curvatura positiva suficientemente estrechas, la conjetura de} Hopf (en el caso de curvatura positiva) se deduce del teorema de la esfera , un teorema que también fue conjeturado por primera vez por Hopf. Una de las líneas de ataque consiste en buscar variedades con mayor simetría. Es particular, por ejemplo, que todas las variedades conocidas de curvatura seccional positiva permiten una acción de círculo isométrico. El campo vectorial correspondiente se denomina campo vectorial de eliminación . La conjetura (para el caso de curvatura positiva) también se ha demostrado para variedades de dimensión${\displaystyle 4k+2}$o${\displaystyle 4k+4}$admitiendo una acción isométrica de un toro k -dimensional y para variedades M admitiendo una acción isométrica de un grupo de Lie compacto G con subgrupo de isotropía principal H y cohomogeneidad k tal que ${\displaystyle k-(\operatorname {rank} G-\operatorname {rank} H)\leq 5.}$Algunas referencias sobre variedades con cierta simetría son ^{[ 4 ]} y ^{[ 5 ].}

Sobre la historia del problema: la primera aparición escrita y explícita de la conjetura se encuentra en las actas de la Sociedad Matemática Alemana , ^{[ 6 ]} un artículo basado en las charlas que Heinz Hopf impartió en la primavera de 1931 en Friburgo , Suiza , y en Bad Elster en el otoño de 1931. Marcel Berger analiza la conjetura en su libro, ^{[ 7 ]} y hace referencia al trabajo de Hopf de la década de 1920, influenciado por este tipo de cuestiones. Las conjeturas figuran como problema 8 (caso de curvatura positiva) y 10 (caso de curvatura negativa) en "Los problemas de Yau" de 1982. ^{[ 8 ]}

Existen conjeturas análogas si se permite que la curvatura también sea cero. La afirmación aún debe atribuirse a Hopf (por ejemplo, en una charla impartida en 1953 en Italia). ^{[ 9 ]}

Una variedad riemanniana compacta de dimensión par con curvatura seccional no negativa tiene una característica de Euler no negativa . Una variedad riemanniana compacta de dimensión (2d) con curvatura seccional no positiva tiene una característica de Euler de signo${\displaystyle (-1)^{d}}$o cero.

Esta versión se planteó como tal en la Pregunta 1 del artículo ^{[ 10 ]} o luego en un artículo de Chern. ^{[ 11 ]}

Un ejemplo para el cual se confirma la conjetura es para el producto${\displaystyle M=M_{1}\times M_{2}\times \cdots \times M_{d}}$de variedades bidimensionales con signo de curvatura${\displaystyle e_{k}\in \{-1,0,1\}}$. Como la característica de Euler satisface ${\displaystyle \chi (M)=\prod _{k=1}^{d}\chi (M_{k})}$que tiene el signo ${\displaystyle \prod _{k=1}^{d}e_{k}}$, la conjetura del signo se confirma en ese caso (si${\displaystyle e_{k}>0}$para todo k, entonces${\displaystyle \chi (M)>0}$y si${\displaystyle e_{k}<0}$para todo k, entonces${\displaystyle \chi (M)>0}$para d par y${\displaystyle \chi (M)<0}$para d impar, y si uno de los${\displaystyle e_{k}}$es cero, entonces${\displaystyle \chi (M)=0}$).

Hopf preguntó si todo automapa continuo de una variedad cerrada orientada de grado 1 es necesariamente una equivalencia homotópica. ^{[ 12 ]}

Es fácil ver que cualquier mapa${\displaystyle f\colon M\to M}$de grado 1 induce una sobreyección en${\displaystyle \pi _{1}}$; si no, entonces${\displaystyle f}$factores a través de un espacio de cobertura no trivial, lo que contradice la suposición de grado 1.

Esto implica que la conjetura se cumple para los grupos hopfianos , ya que para ellos se obtiene entonces que${\displaystyle f_{*}}$es un isomorfismo en${\displaystyle \pi _{1}}$.

El argumento a favor de grupos de homotopía superior sigue abierto. Además, existen grupos no hopfianos.

Otra pregunta famosa de Hopf es la conjetura del producto de Hopf:

¿Puede el colector de 4 pulgadas?${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{2}}$¿Se puede utilizar una métrica con curvatura positiva?

La conjetura se popularizó en el libro de Gromoll, Klingenberg y Meyer de 1968, ^{[ 13 ]} y se presentó prominentemente como el Problema 1 en la lista de problemas de Yau. ^{[ 8 ]} Shing-Tung Yau formuló allí una nueva observación interesante (que podría reformularse como una conjetura).

No se conoce ningún ejemplo de una variedad compacta y simplemente conexa de curvatura seccional no negativa que no admita una métrica de curvatura estrictamente positiva.

Actualmente, la esfera de 4 lados${\displaystyle \mathbb {S} ^{4}}$y el plano proyectivo complejo${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$son las únicas 4-variedades simplemente conexas que se sabe que admiten una métrica de curvatura positiva. Wolfgang Ziller conjeturó una vez que esta podría ser la lista completa y que, en dimensión 5, la única 5-variedad simplemente conexa de curvatura positiva es la 5-esfera.${\displaystyle \mathbb {S} ^{5}}$. ^{[ 14 ]} Por supuesto, resolver la conjetura del producto de Hopf resolvería la cuestión de Yau. También la conjetura de Ziller que${\displaystyle \mathbb {S} ^{4}}$y${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$son las únicas 4-variedades de curvatura positiva simplemente conexas resolverían la conjetura del producto de Hopf. Volvamos al caso${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{2}}$: se sabe por el trabajo de Jean-Pierre Bourguignon que en la vecindad de la métrica del producto, no hay métrica de curvatura positiva. ^{[ 15 ]} También se sabe por el trabajo de Alan Weinstein que si se da una métrica en${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{2}}$existe con curvatura positiva, entonces esta variedad riemanniana no puede ser incrustada en${\displaystyle \mathbb {R} ^{6}}$. ^{[ 16 ]} (Ya se deduce de un resultado de Hopf que una incrustación en${\displaystyle \mathbb {R} ^{5}}$no es posible ya que entonces la variedad tiene que ser una esfera.) Una referencia general para variedades con curvatura seccional no negativa que da muchos ejemplos es ^{[ 17 ]} así como. ^{[ 18 ]} Una conjetura relacionada es que

Un espacio simétrico compacto de rango mayor que uno no puede contener una métrica riemanniana de curvatura seccional positiva.

Esto también implicaría que${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{2}}$no admite ninguna métrica riemanniana con curvatura seccional positiva. Por lo tanto, al observar la evidencia y el trabajo realizado hasta ahora, parece que la pregunta de Hopf probablemente se responderá con la afirmación "No existe ninguna métrica de curvatura positiva en${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{2}}$"Porque hasta ahora, los teoremas de Bourguignon (resultado de perturbación cerca de la métrica producto), Hopf (codimensión 1), Weinstein (codimensión 2), así como el teorema de la esfera que excluye las métricas de curvatura positiva comprimidas, apuntan hacia este resultado. La construcción de una métrica de curvatura positiva en${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{2}}$ Sin duda sería una sorpresa en la geometría diferencial global, pero aún no se descarta que exista tal métrica.

Finalmente, cabe preguntarse por qué alguien estaría interesado en un caso tan particular como la conjetura del producto de Hopf. El propio Hopf se vio motivado por problemas de la física. Cuando Hopf comenzó a trabajar a mediados de la década de 1920, la teoría de la relatividad tenía apenas 10 años y había despertado un gran interés en la geometría diferencial, especialmente en la estructura global de las variedades de cuatro dimensiones, ya que estas aparecen en cosmología como modelos del universo.

Existe una conjetura relacionada con la conjetura del signo de Hopf, pero que no se refiere en absoluto a la geometría riemanniana. Las variedades asféricas son variedades conexas para las cuales desaparecen todos los grupos de homotopía superiores. La característica de Euler debería entonces satisfacer la misma condición que se conjetura que satisface una variedad de curvatura negativa en la geometría riemanniana:

Supongamos que M ^2k es una variedad cerrada y asférica de dimensión par. Entonces su característica de Euler satisface la desigualdad ${\displaystyle (-1)^{k}\chi (M^{2k})\geq 0.}$

No puede existir una relación directa con el caso riemanniano, ya que existen variedades asféricas que no son homeomorfas a una variedad riemanniana lisa con curvatura seccional negativa.

Esta versión topológica de la conjetura de Hopf se debe a William Thurston . Ruth Charney y Michael Davis conjeturaron que la misma desigualdad se cumple para una variedad euclidiana por partes (PE) con curvatura no positiva.

Hubo cierta confusión sobre la expresión "conjetura de Hopf", ya que un matemático sin parentesco, Eberhard Hopf, contemporáneo de Heinz Hopf, trabajó en temas como flujos geodésicos. ( Eberhard Hopf y Heinz Hopf no tienen parentesco y es posible que nunca se hayan conocido, aunque ambos fueron alumnos de Erhard Schmidt ). Existe un teorema de Eberhard Hopf que establece que si el toro bidimensional...${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$Si no tiene puntos conjugados, entonces debe ser plano (la curvatura de Gauss es cero en todas partes). ^{[ 19 ]} El teorema de Eberhard Hopf generalizó un teorema de Marston Morse y Gustav Hedlund (estudiante de doctorado de Morse) de un año antes. ^{[ 20 ]} El problema de generalizar esto a dimensiones superiores también se conoció durante algún tiempo como la conjetura de Hopf. En cualquier caso, ahora es un teorema: Una métrica riemanniana sin puntos conjugados en el toro n-dimensional es plana. ^{[ 21 ]}