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Articulo de referencia

espectro de Hilbert

Espectro de Hilbert de una forma de onda modulada en frecuencia sobre la forma dada por incógnita ( t ) = ( do 1 − do 2 t ) ⋅ porque ⁡ ( ω t + ϵ pecado ⁡ ( 2 ω t ) ) {\displayst...

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Espectro de Hilbert de una forma de onda modulada en frecuencia sobre la forma dada porincógnita(t)=(do1−do2t)⋅porque⁡(ωt+ϵpecado⁡(2ωt)){\displaystyle x(t)=(c_{1}-c_{2}t)\cdot \cos {\big (}\omega t+\epsilon \sin(2\omega t){\big )}}.

El espectro de Hilbert (a veces denominado espectro de amplitud de Hilbert ), que recibe su nombre de David Hilbert , es una herramienta estadística que ayuda a distinguir entre una mezcla de señales en movimiento. El espectro se descompone en sus fuentes componentes mediante el análisis de componentes independientes . La separación de los efectos combinados de fuentes no identificadas ( separación ciega de señales ) tiene aplicaciones en climatología , sismología e imágenes biomédicas .

Resumen conceptual

El espectro de Hilbert se calcula mediante un proceso de dos pasos que consiste en:

  • El preprocesamiento de una señal consiste en separarla en funciones de modo intrínseco utilizando una descomposición matemática como la descomposición en valores singulares (SVD) o la descomposición empírica de modos (EMD);
  • Aplicando la transformada de Hilbert a los resultados del paso anterior para obtener el espectro de frecuencia instantánea de cada uno de los componentes.

La transformada de Hilbert define la parte imaginaria de la función para convertirla en una función analítica (a veces denominada función progresiva , es decir, una función cuya intensidad de señal es cero para todos los componentes de frecuencia menores que cero).

Con la transformada de Hilbert, los vectores singulares dan frecuencias instantáneas que son funciones del tiempo, de modo que el resultado es una distribución de energía en el tiempo y la frecuencia .

El resultado es la capacidad de capturar la localización tiempo-frecuencia para hacer relevante el concepto de frecuencia instantánea y tiempo (el concepto de frecuencia instantánea es, de otro modo, abstracto o difícil de definir para todas las señales que no sean monocomponentes).

Definición

Para una señal dadaincógnita(t){\displaystyle x(t)}descompuesto (con por ejemplo la descomposición de modo empírico ) en

incógnita(t)=r(t)+∑j=1kdoj(t){\displaystyle x(t)=r(t)+\sum _{j=1}^{k}c_{j}(t)}

dóndek{\displaystyle k}es el número de funciones de modo intrínseco queincógnita(t){\displaystyle x(t)}consta de y

doj(t)=R{aj(t)mi−iθj(t)}=aj(t)porque⁡(θj(t)){\displaystyle c_{j}(t)=\mathbb {R} {\big \{}a_{j}(t)e^{-i\theta _{j}(t)}{\big \}}=a_{j}(t)\cos {\big (}\theta _{j}(t){\big )}}

La frecuencia angular instantánea se define entonces como

ωj(t)=dθj(t)dt{\displaystyle \omega _{j}(t)={\frac {d\theta _{j}(t)}{dt}}}

A partir de esto, podemos definir el espectro de Hilbert [ 1 ] paradoj(t){\displaystyle c_{j}(t)}como

Hj(ω,t)={aj(t),ω=ωj(t)0,de lo contrario{\displaystyle H_{j}(\omega ,t)={\begin{cases}a_{j}(t),&\omega =\omega _{j}(t)\\0,&{\text{en otro caso}}\end{cases}}}

El espectro de Hilbert deincógnita(t){\displaystyle x(t)}entonces se da por

H(ω,t)=∑j=1kHj(ω,t){\displaystyle H(\omega ,t)=\sum _{j=1}^{k}H_{j}(\omega ,t)}

Espectro de Hilbert marginal

Una representación bidimensional de un espectro de Hilbert, denominada espectro de Hilbert marginal, se define como

h(ω)=1T∫0TH(ω,t)dt{\displaystyle h(\omega )={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}H(\omega ,t)dt}

dóndeT{\displaystyle T}es la longitud de la señal muestreadaincógnita(t){\displaystyle x(t)}. El espectro marginal de Hilbert muestra la energía total que aporta cada valor de frecuencia. [ 1 ]

Aplicaciones

El espectro de Hilbert tiene numerosas aplicaciones prácticas. Un ejemplo de aplicación, desarrollada por el profesor Richard Cobbold , es su uso para el análisis del flujo sanguíneo mediante ecografía Doppler pulsada . Otras aplicaciones del espectro de Hilbert incluyen el análisis de características climáticas , olas de agua , etc.

Véase también

Referencias

  1. 1 2 Norden E Huang, Samuel SP Shen, Transformada de Hilbert-Huang y sus aplicaciones, 2.ª edición
  • Huang, et al., " La descomposición modal empírica y el espectro de Hilbert para el análisis de series temporales no lineales y no estacionarias " Proc. R. Soc. Lond. (A) 1998
  • Huang, NE; et  al. (2016). "Sobre el análisis espectral de Holo-Hilbert: una representación espectral informativa completa para datos no lineales y no estacionarios" . Phil . Trans. R. Soc. Lond. A. 374 ( 2065) 20150206. Bibcode : 2016RSPTA.37450206H . doi : 10.1098/rsta.2015.0206 . PMC 4792412. PMID 26953180 .