Función progresiva

En matemáticas , una función progresiva ƒ ∈ L ² ( R ) es una función cuya transformada de Fourier está soportada únicamente por frecuencias positivas: ^{[ 1 ]}  

${\displaystyle \mathop {\rm {supp}} {\hat {f}}\subseteq \mathbb {R} _{+}.}$

Se denomina superregresiva si y solo si la función f ( − t ) invertida en el tiempo es progresiva, o equivalentemente, si

${\displaystyle \mathop {\rm {supp}} {\hat {f}}\subseteq \mathbb {R} _{-}.}$

El conjugado complejo de una función progresiva es regresivo, y viceversa.

El espacio de funciones progresivas se denota a veces${\displaystyle H_{+}^{2}(R)}$, que se conoce como el espacio de Hardy del semiplano superior. Esto se debe a que una función progresiva tiene la fórmula de inversión de Fourier.

${\displaystyle f(t)=\int _{0}^{\infty }e^{2\pi ist}{\hat {f}}(s)\,ds}$

y por lo tanto se extiende a una función holomorfa en el semiplano superior.${\displaystyle \{t+iu:t,u\in R,u\geq 0\}}$

por la fórmula

${\displaystyle f(t+iu)=\int _{0}^{\infty }e^{2\pi is(t+iu)}{\hat {f}}(s)\,ds=\int _{0}^{\infty }e^{2\pi ist}e^{-2\pi su}{\hat {f}}(s)\,ds.}$

Por el contrario, toda función holomorfa en el semiplano superior que sea uniformemente integrable al cuadrado en cada línea horizontal surgirá de esta manera.

Las funciones regresivas están asociadas de manera similar con el espacio de Hardy en el semiplano inferior.${\displaystyle \{t+iu:t,u\in R,u\leq 0\}}$.

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