El segundo problema de Hilbert

En matemáticas , el segundo problema de Hilbert fue planteado por David Hilbert en 1900 como uno de sus 23 problemas . Este problema solicita una demostración de que la aritmética es consistente , es decir, libre de contradicciones internas. Hilbert afirmó que los axiomas que consideró para la aritmética fueron los presentados en Hilbert (1900) , que incluyen un axioma de completitud de segundo orden.

En la década de 1930, Kurt Gödel y Gerhard Gentzen demostraron resultados que arrojaron nueva luz sobre el problema. Algunos opinan que los teoremas de Gödel ofrecen una solución negativa, mientras que otros consideran la demostración de Gentzen como una solución positiva parcial.

En una traducción al inglés, Hilbert pregunta:

Cuando nos dedicamos a investigar los fundamentos de una ciencia, debemos establecer un sistema de axiomas que contenga una descripción exacta y completa de las relaciones que subsisten entre las ideas elementales de dicha ciencia. ... Pero, sobre todo, deseo señalar la siguiente como la más importante entre las numerosas preguntas que pueden plantearse con respecto a los axiomas: demostrar que no son contradictorios, es decir, que un número determinado de pasos lógicos basados ​​en ellos nunca puede conducir a resultados contradictorios. En geometría, la prueba de la compatibilidad de los axiomas puede efectuarse construyendo un cuerpo de números adecuado, de modo que las relaciones análogas entre los números de este cuerpo correspondan a los axiomas geométricos. ... Por otro lado, se necesita un método directo para la prueba de la compatibilidad de los axiomas aritméticos. ^{[ 1 ]}

La afirmación de Hilbert a veces se malinterpreta, porque con los "axiomas aritméticos" no se refería a un sistema equivalente a la aritmética de Peano, sino a un sistema más fuerte con un axioma de completitud de segundo orden. El sistema del que Hilbert pedía una prueba de completitud se asemeja más a la aritmética de segundo orden que a la aritmética de Peano de primer orden.

Como interpretación común hoy en día, una solución positiva a la segunda pregunta de Hilbert proporcionaría, en particular, una prueba de que la aritmética de Peano es consistente.

Existen numerosas demostraciones conocidas de la consistencia de la aritmética de Peano que pueden llevarse a cabo en sistemas fuertes como la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel . Sin embargo, estas no resuelven la segunda pregunta de Hilbert, ya que quien duda de la consistencia de la aritmética de Peano difícilmente aceptará los axiomas de la teoría de conjuntos (que son mucho más fuertes) para demostrarla. Por lo tanto, una respuesta satisfactoria al problema de Hilbert debe realizarse utilizando principios que sean aceptables para quien no crea que la aritmética de Peano sea consistente. Estos principios suelen denominarse finitistas porque son completamente constructivos y no presuponen una infinitud completa de números naturales. El segundo teorema de incompletitud de Gödel (véase Teoremas de incompletitud de Gödel ) impone un límite estricto a la debilidad de un sistema finitista que aún permite demostrar la consistencia de la aritmética de Peano.

El segundo teorema de incompletitud de Gödel muestra que no es posible realizar ninguna prueba de consistencia de la aritmética de Peano dentro de la propia aritmética de Peano. Este teorema muestra que si los únicos procedimientos de prueba aceptables son aquellos que pueden formalizarse dentro de la aritmética, entonces la exigencia de Hilbert de una prueba de consistencia no puede ser respondida. Sin embargo, como explican Nagel y Newman (1958) , todavía hay espacio para una prueba que no puede formalizarse en aritmética: ^{[ 2 ]}

"Este imponente resultado del análisis de Gödel no debe malinterpretarse: no excluye una prueba metamatemática de la consistencia de la aritmética. Lo que excluye es una prueba de consistencia que pueda reflejarse en las deducciones formales de la aritmética. De hecho, se han construido pruebas metamatemáticas de la consistencia de la aritmética, en particular por Gerhard Gentzen , miembro de la escuela de Hilbert, en 1936, y por otros desde entonces. ... Pero estas pruebas metamatemáticas no pueden representarse dentro del cálculo aritmético; y, dado que no son finitistas, no alcanzan los objetivos proclamados del programa original de Hilbert. ... La posibilidad de construir una prueba absoluta finitista de consistencia para la aritmética no está excluida por los resultados de Gödel. Gödel demostró que no es posible tal prueba que pueda representarse dentro de la aritmética. Su argumento no elimina la posibilidad de pruebas estrictamente finitistas que no puedan representarse dentro de la aritmética. Pero nadie hoy parece tener una idea clara de cómo sería una demostración finitista que no pueda formularse dentro de la aritmética." ^{[ 3 ]}

En 1936, Gentzen publicó una demostración de la consistencia de la aritmética de Peano. El resultado de Gentzen muestra que se puede obtener una prueba de consistencia en un sistema mucho más débil que la teoría de conjuntos.

La demostración de Gentzen procede asignando a cada demostración en aritmética de Peano un número ordinal , basado en la estructura de la demostración, siendo cada uno de estos ordinales menor que ε ₀ . ^{[ 4 ]} Luego demuestra mediante inducción transfinita sobre estos ordinales que ninguna demostración puede concluir en una contradicción. El método utilizado en esta demostración también puede emplearse para demostrar un resultado de eliminación de cortes para la aritmética de Peano en una lógica más fuerte que la lógica de primer orden, pero la demostración de consistencia en sí misma puede llevarse a cabo en lógica de primer orden ordinaria utilizando los axiomas de la aritmética recursiva primitiva y un principio de inducción transfinita. Tait (2005) ofrece una interpretación de teoría de juegos del método de Gentzen. ^{[ 5 ]}

La demostración de consistencia de Gentzen dio inicio al programa de análisis ordinal en la teoría de la demostración. En este programa, a las teorías formales de la aritmética o la teoría de conjuntos se les asignan números ordinales que miden la fuerza de consistencia de dichas teorías. Una teoría no podrá demostrar la consistencia de otra teoría con un ordinal de la teoría de la demostración superior.

Aunque los teoremas de Gödel y Gentzen son ahora bien comprendidos por la comunidad de lógica matemática, no se ha llegado a un consenso sobre si (o de qué manera) estos teoremas responden al segundo problema de Hilbert. Simpson (1988) argumenta que el teorema de incompletitud de Gödel muestra que no es posible producir pruebas de consistencia finitistas de teorías fuertes. ^{[ 6 ]} Kreisel (1976) afirma que, si bien los resultados de Gödel implican que no se puede obtener una prueba de consistencia sintáctica finitista, se pueden usar argumentos semánticos (en particular, de segundo orden ) para dar pruebas de consistencia convincentes. Detlefsen (1990) argumenta que el teorema de Gödel no impide una prueba de consistencia porque sus hipótesis podrían no aplicarse a todos los sistemas en los que se podría llevar a cabo una prueba de consistencia. ^{[ 7 ]} Dawson (2006) califica de "errónea" la creencia de que el teorema de Gödel elimina la posibilidad de una prueba de consistencia convincente, citando la prueba de consistencia dada por Gentzen y una posterior dada por Gödel en 1958. ^{[ 8 ]}

• Conjetura de Takeuti

• Texto original de la charla de Hilbert, en alemán.
• Traducción al inglés del discurso de Hilbert de 1900