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El decimoquinto problema de Hilbert

El decimoquinto problema de Hilbert es uno de los 23 problemas de Hilbert que figuran en una lista recopilada en 1900 por David Hilbert . El problema consiste en fundamentar rig...

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El decimoquinto problema de Hilbert es uno de los 23 problemas de Hilbert que figuran en una lista recopilada en 1900 por David Hilbert . El problema consiste en fundamentar rigurosamente el cálculo enumerativo de Schubert .

Introducción

El cálculo de Schubert es la teoría de la intersección del siglo XIX, junto con aplicaciones a la geometría enumerativa. La justificación de este cálculo fue el contenido del problema 15 de Hilbert, y también fue el tema principal de la geometría algebraica del siglo XX. [ 1 ] [ 2 ] En el curso de asegurar los fundamentos de la teoría de la intersección, Van der Waerden y André Weil [ 3 ] [ 4 ] relacionaron el problema con la determinación del anillo de cohomología H*(G/P) de una variedad de banderas G/P, donde G es un grupo de Lie y P un subgrupo parabólico de G.

La estructura aditiva del anillo H*(G/P) viene dada por el teorema de la base del cálculo de Schubert [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] debido a Ehresmann , Chevalley y Bernstein-Gel'fand-Gel'fand, que establece que las clases clásicas de Schubert en G/P forman una base libre del anillo de cohomología H*(G/P). El problema restante de expandir productos de clases de Schubert como combinaciones lineales de elementos de la base fue denominado problema característico [ 8 ] [ 9 ] [ 3 ] por Schubert, y considerado por él como "el principal problema teórico de la geometría enumerativa". [ 10 ]

Si bien la geometría enumerativa no estableció ninguna conexión con la física durante el primer siglo de su desarrollo, desde entonces ha surgido como un elemento central de la teoría de cuerdas . [ 11 ]

Planteamiento del problema

El enunciado original del problema, traducido al inglés, es el siguiente:

El problema consiste en lo siguiente: establecer rigurosamente y con una determinación exacta de los límites de su validez aquellos números geométricos que Schubert determinó especialmente sobre la base del llamado principio de posición especial, o conservación del número, mediante el cálculo enumerativo desarrollado por él.

Aunque el álgebra actual garantiza, en principio, la posibilidad de llevar a cabo los procesos de eliminación, para la demostración de los teoremas de la geometría enumerativa se requiere mucho más, a saber, la realización efectiva del proceso de eliminación en el caso de ecuaciones de forma especial, de manera que se pueda prever el grado de las ecuaciones finales y la multiplicidad de sus soluciones. [ 1 ]

cálculo de Schubert

El cálculo de Schubert es una rama de la geometría algebraica introducida en el siglo XIX por Hermann Schubert para resolver diversos problemas de conteo de la geometría proyectiva (parte de la geometría enumerativa ). Fue precursor de varias teorías más modernas, como las clases características , y sus aspectos algorítmicos, en particular, siguen siendo de interés.

Los objetos introducidos por Schubert son las celdas de Schubert , que son conjuntos localmente cerrados en una variedad grassmanniana definida por condiciones de incidencia de un subespacio lineal en el espacio proyectivo con una bandera dada . Para más detalles, véase la variedad de Schubert .

Según Van der Waerden, [ 3 ] y André Weil, [ 4 ] el problema quince de Hilbert había sido resuelto. En casos particulares:

  • El problema característico de Schubert ha sido resuelto por Haibao Duan y Xuezhi Zhao; [ 12 ]
  • Presentaciones especiales de los anillos de Chow de variedades de banderas han sido elaboradas por Borel , Marlin, Billey-Haiman y Duan-Zhao, et al.; [ 12 ]
  • Los principales ejemplos enumerativos de Schubert [ 8 ] han sido verificados por Aluffi , Harris , Kleiman , Xambó y otros. [ 13 ] [ 12 ]

Referencias

  1. 1 2 Hilbert, David, "Mathematische Probleme" Göttinger Nachrichten , (1900), págs. 253-297, y en Archiv der Mathematik und Physik , (3) 1 (1901), 44-63 y 213-237. Publicado en traducción al inglés por la Dra. Maby Winton Newson, Bulletin of the American Mathematical Society 8 (1902), 437-479 Texto visible en la web Texto PDF doi : 10.1090/S0002-9904-1902-00923-3 .
  2. ↑ F. Sottile, Cálculo de Schubert, Enciclopedia de Matemáticas de Springer
  3. ^ Waerden , BL van der (1930) . "Topologische Begründung des Kalküls der abzählenden Geometrie". Matemáticas. Ana . 102 (1): 337– 362. doi : 10.1007/BF01782350 . SEÑOR 1512581 . S2CID 177808901 .  
  4. 1 2 Weil, A. (1962), Fundamentos de geometría algebraica , Student Mathematical Library, vol. 32, American Mathematical Society, MR 0144898  
  5. ^ Ehresmann, C. (1934). "Sobre la topología de ciertos espacios homogéneos" (PDF) . Ana. de Matemáticas . 35 (2): 396– 443. doi : 10.2307/1968440 . JSTOR 1968440 . 
  6. ^ Chevalley, C. (1994). "Sur les décompositions cellulaires des espaces G/B". Grupos algebraicos y sus generalizaciones: métodos clásicos . Actas de simposios de matemática pura. vol. 56. págs. 1– 26. doi : 10.1090/pspum/056.1 . ISBN   9780821815403.
  7. ↑ IN Bernstein; IM Gel'fand; SI Gel'fand (1973). "Celdas de Schubert y cohomología de los espacios G/P" . Russian Math. Surveys . 28 (3): 1– 26. doi : 10.1070/RM1973v028n03ABEH001557 . S2CID 250748691 . 
  8. 1 2 H. Schubert, Kalkül der abzählenden Geometrie , 1879, Leipzig: BG Teubner
  9. ↑ H. Schubert, Lösung des Charakteristiken-Problems für lineare Räume beliebiger Dimension , Mitteilungen der Mathematische Gesellschaft en Hamburgo 1 (1886), 134-155.
  10. ↑ S. Kleiman, Reseña del libro “Intersection Theory” de W. Fulton, Bull. AMS, vol. 12, n.º 1 (1985), 137-143. https://projecteuclid.org/euclid.bams/1183552346
  11. ↑ Katz, Sheldon (2006), Geometría enumerativa y teoría de cuerdas , Student Mathematical Library, vol. 32, American Mathematical Society 
  12. 1 2 3 H. Duan; X. Zhao (2020). "Sobre el problema característico de Schubert" . En J. Hu; et al. (eds.). Cálculo de Schubert y sus aplicaciones en combinatoria y teoría de la representación . Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. Vol. 332. pp. 43–71 . arXiv : 1912.10745 . doi : 10.1007/978-981-15-7451-1_4 . ISBN    978-981-15-7450-4. S2CID 209444479 . 
  13. ↑ S. Kleiman, Teoría de la intersección y geometría enumerativa: Una década en revisión, Proc. Symp. Pure Math., 46:2, Amer. Math. Soc. (1987), 321-370. https://www.ams.org/books/pspum/046.2/ doi : 10.1090/pspum/046.2
  • Kleiman, Steven L. (1976), "Problema 15: fundamentos rigurosos del cálculo enumerativo de Schubert", Desarrollos matemáticos derivados de problemas de Hilbert (Actas del Simposio de Matemáticas Puras, Universidad del Norte de Illinois, De Kalb, Illinois, 1974) , vol.  XXVIII, Providence, RI: American Mathematical Society, págs. 445–482 , MR 0429938  .
  • Manin, Ju. I. (1969), "Sobre el decimoquinto problema de Hilbert", Problemas de Hilbert (en ruso) , Izdat. “Nauka”, Moscú, págs. 175–181 , MR 0254047  .
  • Pragacz, Piotr (1997), "El estado del decimoquinto problema de Hilbert en 1993", Los problemas de Hilbert (polaco) (Międzyzdroje, 1993) , Varsovia: Polsk. Akád. Nauk, págs. 175 a 184, SEÑOR 1632447  .