Teorema de incrustación de Higman

En teoría de grupos , el teorema de incrustación de Higman establece que todo grupo R generado recursivamente y presentado de forma finita puede incrustarse como un subgrupo de algún grupo G presentado de forma finita . Este es un resultado de Graham Higman de la década de 1960. ^{[ 1 ]}

Por otro lado, es un teorema sencillo que todo subgrupo finitamente generado de un grupo finitamente presentado es recursivamente presentado, por lo que los grupos finitamente generados recursivamente presentados son (salvo isomorfismo) exactamente los subgrupos finitamente generados de grupos finitamente presentados.

Dado que todo grupo numerable es un subgrupo de un grupo finitamente generado, el teorema puede reformularse para esos grupos.

Como corolario , existe un grupo universal finitamente presentado que contiene a todos los grupos finitamente presentados como subgrupos (salvo isomorfismo); de hecho, sus subgrupos finitamente generados son exactamente los grupos recursivamente presentados finitamente generados (de nuevo, salvo isomorfismo).

El teorema de incrustación de Higman también implica el teorema de Novikov-Boone (demostrado originalmente en la década de 1950 mediante otros métodos) sobre la existencia de un grupo finitamente presentado con un problema de palabras algorítmicamente indecidible . ^{[ 2 ] [ 3 ]} De hecho, es bastante fácil construir un grupo finitamente generado recursivamente presentado con un problema de palabras indecidible. Entonces, cualquier grupo finitamente presentado que contenga a este grupo como subgrupo también tendrá un problema de palabras indecidible.

La demostración habitual del teorema utiliza una secuencia de extensiones HNN que comienza con R y termina con un grupo G que se puede demostrar que tiene una presentación finita. ^{[ 4 ]}