transformada rápida de Fourier hexagonal

La transformada rápida de Fourier hexagonal ( HFFT ) es una herramienta en el procesamiento de imágenes y señales que utiliza rutinas de transformada rápida de Fourier (FFT) para calcular la transformada discreta de Fourier (DFT) de imágenes capturadas con muestreo hexagonal . ^{[ 1 ]} La aplicación del muestreo hexagonal es limitada debido a la falta de un sistema de coordenadas eficiente . ^{[ 2 ]} La existencia de un núcleo de Fourier separable para una imagen muestreada hexagonalmente permite el uso de rutinas FFT existentes para calcular eficientemente la DFT de dicha imagen.

Las transformaciones lineales${\displaystyle g_{a}}$y${\displaystyle f_{a}}$son similares al núcleo de Fourier rectangular donde se aplica una transformada lineal a lo largo de cada dimensión de los datos rectangulares 2D. ^{[ 5 ]} Cada una de estas ecuaciones, discutidas anteriormente, es una combinación de cuatro matrices rectangulares que sirven como precursores de la HDFT. Dos de esas cuatro rectangulares${\displaystyle g_{a}}$Los términos contribuyen al subconjunto de HFFT. Al intercambiar la coordenada binaria, obtenemos cuatro formas diferentes de ecuaciones. Tres de esas cuatro expresiones se han evaluado utilizando "transformadas no estándar (NST)" (que se muestran a continuación), mientras que una expresión se calcula utilizando cualquier algoritmo FFT correcto y aplicable. ^{[ 3 ]}

${\displaystyle g_{a}(0,r,d)=\sum _{c}x(a,r,c)\exp \left(-j2\pi {\frac {(c)(d)}{m}}\right)}$

${\displaystyle g_{a}(1,r,d)=\sum _{c}x(a,r,c)\exp \left(-j2\pi {\frac {(c)(2d+1)}{2m}}\right)}$

${\displaystyle f_{a}(0,s,d)=\sum _{r}g_{a}(a,r,d)\exp \left(-j2\pi {\frac {(r)(2s)}{n}}\right)}$

${\displaystyle f_{a}(1,s,d)=\sum _{r}g_{a}(a,r,d)\exp \left(-j2\pi {\frac {(r)(2s+1)}{n}}\right)}$

La segunda expresión,${\displaystyle g_{a}(1,r,d)}$es una transformada discreta de Fourier (DFT) estándar con un desplazamiento constante a lo largo de las filas de submatrices rectangulares de una imagen muestreada hexagonalmente${\displaystyle x(a,r,c)}$. ^{[ 5 ]} Esta expresión no es más que una rotación circular de la DFT. Nótese que el desplazamiento debe ocurrir en el número entero de muestras para que se cumpla la propiedad. De esta manera, la función${\displaystyle g_{a}}$se puede calcular utilizando la DFT estándar, en el mismo número de operaciones, sin introducir una NST.

Dado que el array 0${\displaystyle f_{a}}$siempre será simétrico respecto a la mitad de su período espacial , basta con calcular solo la mitad del mismo. Esta expresión es la DFT estándar de las columnas de${\displaystyle g_{a}}$, que se diezma por un factor de 2 y luego se duplica para abarcar el espacio de r para el segundo período idéntico de la exponencial compleja. ^{[ 5 ]} Matemáticamente,

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{\text{even}}[k]&=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]e^{-{\tfrac {2j\pi }{N}}2kn}\\[5pt]&=\sum _{n=0}^{{\tfrac {N}{2}}-1}x[n]e^{-{\tfrac {2j\pi }{N/2}}kn}+\sum _{n={\tfrac {N}{2}}}^{N-1}x[n]e^{-{\tfrac {2j\pi }{N/2}}kn}\\[5pt]&=\sum _{n=0}^{{\tfrac {N}{2}}-1}x[n]e^{-{\tfrac {2j\pi }{N/2}}kn}+\suma _{n=0}^{{\tfrac {N}{2}}-1}x\left[n+{\tfrac {N}{2}}\right]e^{-{\tfrac {2j\pi }{N/2}}kn}\\[5pt]&=\sum _{n=0}^{{\tfrac {N}{2}}-1}\left(x[n]+x\left[n+{\tfrac {N}{2}}\right]\right)e^{-{\tfrac {2j\pi }{N/2}}kn}\end{aligned}}}$

La expresión para la matriz de 1 elementos${\displaystyle f_{a}}$es equivalente a la expresión de matriz 0 con un desplazamiento de una muestra. Por lo tanto, la expresión de matriz 1 se puede expresar como columnas de la DFT de${\displaystyle g_{a}}$diezmado por un factor de dos, comenzando con la segunda muestra que proporciona un desplazamiento constante necesario para 1-array, y luego duplicado en espacio para abarcar el rango de s . Por lo tanto, el método desarrollado por James B. Birdsong y Nicholas I. Rummelt ^{[ 5 ]} puede calcular con éxito la HFFT utilizando las rutinas FFT estándar.