Notación de sombrero

Un "sombrero" ( circunflejo (ˆ)), colocado sobre un símbolo, es una notación matemática con varios usos.

En estadística , se utiliza un circunflejo (ˆ), llamado "sombrero", para denotar un estimador o un valor estimado. ^[1] Por ejemplo, en el contexto de errores y residuos , el "sombrero" sobre la letra indica una estimación observable (los residuos) de una cantidad no observable llamada (los errores estadísticos). ${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}}$${\displaystyle \varepsilon }$

Otro ejemplo del operador hat que denota un estimador se da en la regresión lineal simple . Suponiendo un modelo de , con observaciones de datos de variables independientes y datos de variables dependientes , el modelo estimado tiene la forma donde se minimiza comúnmente a través de mínimos cuadrados al encontrar valores óptimos de y para los datos observados. ${\displaystyle y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}x_{i}+\varepsilon _{i}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle {\hat {y}}_{i}={\hat {\beta }}_{0}+{\hat {\beta }}_{1}x_{i}}$${\displaystyle \sum _{i}(y_{i}-{\hat {y}}_{i})^{2}}$${\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}$${\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}$

En estadística, la matriz de sombrero H proyecta los valores observados y de la variable de respuesta a los valores predichos ŷ :

${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}=H\mathbf {y} .}$

En la teoría de los tornillos , un uso del operador hat es representar la operación del producto vectorial . Dado que el producto vectorial es una transformación lineal , se puede representar como una matriz . El operador hat toma un vector y lo transforma en su matriz equivalente.

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {\hat {a}} \mathbf {b} }$

Por ejemplo, en tres dimensiones,

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\\b_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&-a_{z}&a_{y}\\a_{z}&0&-a_{x}\\-a_{y}&a_{x}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\\b_{z}\end{bmatrix}}=\mathbf {\hat {a}} \mathbf {b} }$

En matemáticas, un vector unitario en un espacio vectorial normado es un vector (a menudo un vector espacial) de longitud 1. Un vector unitario a menudo se denota con una letra minúscula con un acento circunflejo, o "sombrero", como en (se pronuncia "v-hat"). ^{[2] [1]} Esto es especialmente común en el contexto de la física. ${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}}$

La transformada de Fourier de una función se denota tradicionalmente por . ${\displaystyle f}$${\displaystyle {\hat {f}}}$

En mecánica cuántica, los operadores se denotan con la notación hat. Por ejemplo, véase la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, donde el operador hamiltoniano se denota . ${\displaystyle {\hat {H}}}$

${\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi }$

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