Modelo HPP

El modelo de Hardy-Pomeau-Pazzis (HPP) es un autómata de gas reticular fundamental para la simulación de gases y líquidos. Fue un precursor de los métodos de Boltzmann reticular . A partir de los autómatas de gas reticulares, es posible derivar las ecuaciones macroscópicas de Navier-Stokes . ^{[ 1 ]} El interés en los métodos de autómatas de gas reticulares se estabilizó a principios de la década de 1990, debido al creciente interés en los métodos de Boltzmann reticular. ^{[ 2 ]}

Fue presentado por primera vez en artículos publicados en 1973 y 1976 por Jean Hardy, Yves Pomeau y Olivier de Pazzis, ^{[ 3 ]} cuyas iniciales dan nombre al modelo. El modelo puede utilizarse como un modelo simple para el movimiento de gases y fluidos. ^{[ 4 ]}

En este modelo, la red adopta la forma de una cuadrícula cuadrada bidimensional, donde las partículas pueden moverse a cualquiera de los cuatro puntos adyacentes que comparten una arista común, y no pueden moverse en diagonal. Esto significa que cada punto de la cuadrícula solo puede tener una de dieciséis interacciones posibles.

• Las partículas existen únicamente en los puntos de la cuadrícula, nunca en los bordes ni en la superficie de la red.
• Cada partícula tiene una dirección asociada (desde un punto de la cuadrícula a otro punto de la cuadrícula inmediatamente adyacente).
• Cada celda de la cuadrícula reticular solo puede contener un máximo de una partícula por cada dirección, es decir, un total de entre cero y cuatro partículas.

Las siguientes reglas también rigen el modelo:

1. Una sola partícula se mueve en una dirección fija hasta que experimenta una colisión.
2. Dos partículas que experimentan una colisión frontal se desvían perpendicularmente.
3. Dos partículas experimentan una colisión que no es frontal, simplemente se atraviesan y continúan en la misma dirección.
4. Opcionalmente, cuando una partícula choca con los bordes de una red, puede rebotar.

Los modelos HPP siguen un proceso de actualización en dos etapas.

El modelo opera sobre una red cuadrada bidimensional infinita , donde cuatro vectores unitarios están asociados con los siguientes números:${\displaystyle 1\mapsto \left({\begin{array}{c}1\\0\end{array}}\right),2\mapsto \left({\begin{array}{c}0\\1\end{array}}\right),3\mapsto \left({\begin{array}{c}-1\\0\end{array}}\right),4\mapsto \left({\begin{array}{c}0\\-1\end{array}}\right)}$. ^{[ 5 ]}

Dejar${\displaystyle X}$ser una configuración permitida. La función${\displaystyle \sigma _{X}}$comprueba la existencia de una partícula con cierta velocidad, mientras que${\displaystyle {\bar {\sigma }}_{X}}$hace lo contrario:

${\displaystyle \sigma _{X}(p,q,i)={\begin{cases}1{\text{ si el sitio }}(p,q){\text{ está ocupado por una partícula de }}X{\text{ de velocidad }}i,\\0{\text{ en caso contrario.}}\end{cases}}}$^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\bar {\sigma }}_{X}(p,q,i)=1-\sigma _{X}(p,q,i)}$^{[ 5 ]}

El sucesor${\displaystyle T(X)}$de la configuración${\displaystyle X}$se puede calcular utilizando las fórmulas del artículo original: ^{[ 5 ]}$${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\sigma _{T(X)}(p,q,1)&=&\sigma _{X}(p-1,q,1)-\Psi _{X}(p,q)\\\sigma _{T(X)}(p,q,2)&=&\sigma _{X}(p,q-1,2)+\Psi _{X}(p,q)\\\sigma _{T(X)}(p,q,3)&=&\sigma _{X}(p+1,q,3)-\Psi _{X}(p,q)\\\sigma _{T(X)}(p,q,4)&=&\sigma _{X}(p,q+1,4)+\Psi _{X}(p,q)\end{array}}}$$$${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\Psi _{X}(p,q)&=&\psi _{X}^{1}(p,q)-\psi _{X}^{2}(p,q)\\\psi _{X}^{1}(p,q)&=&\sigma _{X}(p-1,q,1)\sigma _{X}(p+1,q,3){\bar {\sigma }}_{X}(p,q-1,2){\bar {\sigma }}_{X}(p,q+1,4)\\\psi _{X}^{2}(p,q)&=&{\bar {\sigma }}_{X}(p-1,q,1){\bar {\sigma }}_{X}(p+1,q,3)\sigma _{X}(p,q-1,2)\sigma _{X}(p,q+1,4)\end{array}}}$$

El modelo presenta graves fallos, ya que el momento lineal se conserva siempre tanto en el eje horizontal como en el vertical. No se elimina energía del modelo, ni por colisiones ni por movimiento, por lo que continuará indefinidamente.

El modelo HPP carecía de invariancia rotacional , lo que lo hacía altamente anisotrópico . Esto significa, por ejemplo, que los vórtices producidos por el modelo HPP tienen forma cuadrada. ^{[ 6 ]}

• Sauro Succi (2001). La ecuación de Boltzmann en red, para la dinámica de fluidos y más allá . Oxford Science Publications. ISBN 0-19-850398-9.(Capítulo 2 sobre autómatas celulares de gas reticular)
• Neil Gershenfeld (1998). La naturaleza del modelado matemático . Cambridge University Press. ISBN 978-0521570954.