Grupo Grothendieck

Dado un monoide conmutativo${\displaystyle M}$, el grupo abeliano "más general"${\displaystyle K}$que surge de${\displaystyle M}$se construirá introduciendo elementos inversos a todos los elementos de${\displaystyle M}$. Tal grupo abeliano${\displaystyle K}$Siempre existe; se llama el grupo de Grothendieck de${\displaystyle M}$Se caracteriza por una cierta propiedad universal y también puede construirse concretamente a partir de${\displaystyle M}$.

Si${\displaystyle M}$no tiene la propiedad de cancelación (es decir, existe${\displaystyle a,b}$y${\displaystyle c}$en${\displaystyle M}$de tal manera que${\displaystyle a\neq b}$y${\displaystyle ac=bc}$), luego el grupo Grothendieck${\displaystyle K}$no puede contener${\displaystyle M}$. En particular, en el caso de una operación monoide denotada multiplicativamente que tiene un elemento cero que satisface${\displaystyle 0\cdot x=0}$por cada${\displaystyle x\in M,}$El grupo de Grothendieck debe ser el grupo trivial ( grupo con un solo elemento), ya que se debe tener

${\displaystyle x=1\cdot x=(0^{-1}\cdot 0)\cdot x=0^{-1}\cdot (0\cdot x)=0^{-1}\cdot 0=0}$

por cada${\displaystyle x}$.

Sea M un monoide conmutativo. Su grupo de Grothendieck es un grupo abeliano K con un homomorfismo de monoides.${\displaystyle i\colon M\to K}$que satisface la siguiente propiedad universal: para cualquier homomorfismo de monoide${\displaystyle f\colon M\to A}$de M a un grupo abeliano A , existe un homomorfismo de grupo único${\displaystyle g\colon K\to A}$de tal manera que${\displaystyle f=g\circ i.}$

Esto expresa el hecho de que cualquier grupo abeliano A que contenga una imagen homomórfica de M también contendrá una imagen homomórfica de K , siendo K el grupo abeliano "más general" que contiene una imagen homomórfica de M.

Para construir el grupo de Grothendieck K de un monoide conmutativo M , se forma el producto cartesiano.${\displaystyle M\times M}$Las dos coordenadas están destinadas a representar una parte positiva y una parte negativa, por lo que${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$corresponde a${\displaystyle m_{1}-m_{2}}$tinta .​

Adición en${\displaystyle M\times M}$se define por coordenadas:

${\displaystyle (m_{1},m_{2})+(n_{1},n_{2})=(m_{1}+n_{1},m_{2}+n_{2})}$.

A continuación se define una relación de equivalencia en${\displaystyle M\times M}$, de tal manera que${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$es equivalente a${\displaystyle (n_{1},n_{2})}$Si, para algún elemento k de M , m ₁ + n ₂ + k = m ₂ + n ₁ + k (el elemento k es necesario porque la ley de cancelación no se cumple en todos los monoides). La clase de equivalencia del elemento ( m ₁ , m ₂ ) se denota por [( m ₁ , m ₂ )]. Se define K como el conjunto de clases de equivalencia. Dado que la operación de suma en M × M es compatible con nuestra relación de equivalencia, se obtiene una suma en K , y K se convierte en un grupo abeliano. El elemento identidad de K es [(0, 0)], y el inverso de [( m ₁ , m ₂ )] es [( m ₂ , m ₁ )]. El homomorfismo${\displaystyle i:M\to K}$envía el elemento m a [( m , 0)].

Alternativamente, el grupo de Grothendieck K de M también puede construirse utilizando generadores y relaciones : denotando por${\displaystyle (Z(M),+')}$el grupo abeliano libre generado por el conjunto M , el grupo de Grothendieck K es el cociente de${\displaystyle Z(M)}$por el subgrupo generado por${\displaystyle \{(x+'y)-'(x+y)\mid x,y\in M\}}$. (Aquí +′ y −′ denotan la suma y la resta en el grupo abeliano libre${\displaystyle Z(M)}$(donde + denota la adición en el monoide M ). Esta construcción tiene la ventaja de que puede realizarse para cualquier semigrupo M y produce un grupo que satisface las propiedades universales correspondientes para semigrupos, es decir, el "grupo más general y pequeño que contiene una imagen homomórfica de M " . Esto se conoce como la "completación de un semigrupo" o "grupo de fracciones de un semigrupo".

En el lenguaje de la teoría de categorías , cualquier construcción universal da lugar a un functor ; así, se obtiene un functor de la categoría de monoides conmutativos a la categoría de grupos abelianos que envía el monoide conmutativo M a su grupo de Grothendieck K. Este functor es adjunto izquierdo del functor de olvido de la categoría de grupos abelianos a la categoría de monoides conmutativos.

Para un monoide conmutativo M , la aplicación i  : M → K es inyectiva si y solo si M tiene la propiedad de cancelación, y es biyectiva si y solo si M ya es un grupo. 

El ejemplo más sencillo de un grupo de Grothendieck es la construcción de los números enteros.${\displaystyle \mathbb {Z} }$de los números naturales (aditivos)${\displaystyle \mathbb {N} }$En primer lugar, se observa que los números naturales (incluido el 0), junto con la suma usual, forman efectivamente un monoide conmutativo.${\displaystyle (\mathbb {N},+).}$Ahora bien, cuando se utiliza la construcción del grupo de Grothendieck, se obtienen las diferencias formales entre los números naturales como elementos n − m y se tiene la relación de equivalencia.

${\displaystyle nm\sim n'-m'\iff n+m'+k=n'+m+k}$para algunos${\displaystyle k\iff n+m'=n'+m}$.

Ahora define

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N}$ :\qquad {\begin{cases}n:=[n-0]\\-n:=[0-n]\end{cases}}}

Esto define los números enteros${\displaystyle \mathbb {Z} }$En efecto, esta es la construcción habitual para obtener los números enteros a partir de los números naturales. Consulte la sección "Construcción" en la sección de Números Enteros para obtener una explicación más detallada.

De manera similar, el grupo de Grothendieck del monoide conmutativo multiplicativo${\displaystyle (\mathbb {N} ^{*},\times )}$(a partir de 1) consta de fracciones formales${\displaystyle p/q}$con la equivalencia

${\displaystyle p/q\sim p'/q'\iff pq'r=p'qr}$para algunos${\displaystyle r\iff pq'=p'q}$

lo cual, por supuesto, puede identificarse con los números racionales positivos .

El grupo de Grothendieck es la construcción fundamental de la teoría K. El grupo${\displaystyle K_{0}(M)}$El grupo de Grothendieck de una variedad compacta M se define como el grupo conmutativo del monoide de todas las clases de isomorfismo de haces vectoriales de rango finito en M con la operación de monoide dada por suma directa. Esto proporciona un functor contravariante de variedades a grupos abelianos. Este functor se estudia y extiende en la teoría K topológica .

El grupo algebraico K de grado cero${\displaystyle K_{0}(R)}$De un anillo R (no necesariamente conmutativo ) es el grupo de Grothendieck del monoide que consta de clases de isomorfismo de módulos proyectivos finitamente generados sobre R , con la operación de monoide dada por la suma directa . Entonces${\displaystyle K_{0}}$es un functor covariante de anillos a grupos abelianos.

Los dos ejemplos anteriores están relacionados: considérese el caso en el que${\displaystyle R=C^{\infty }(M)}$es el anillo de funciones suaves con valores complejos sobre una variedad compacta M. En este caso, los R -módulos proyectivos son duales a fibrados vectoriales sobre M (por el teorema de Serre-Swan ). Por lo tanto,${\displaystyle K_{0}(R)}$y${\displaystyle K_{0}(M)}$son el mismo grupo.

Otra construcción que recibe el nombre de grupo de Grothendieck es la siguiente: Sea R un álgebra de dimensión finita sobre algún cuerpo k o, más generalmente, un anillo artiniano . Entonces definimos el grupo de Grothendieck.${\displaystyle G_{0}(R)}$como el grupo abeliano generado por el conjunto${\displaystyle \{[X]\mid X\in R{\text{-mod}}\}}$de clases de isomorfismo de R -módulos finitamente generados y las siguientes relaciones: Para cada secuencia exacta corta

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

de R -modules, agregue la relación

${\displaystyle [A]-[B]+[C]=0.}$

Esta definición implica que para cualesquiera dos R -módulos finitamente generados M y N ,${\displaystyle [M\oplus N]=[M]+[N]}$, debido a la secuencia exacta corta dividida

${\displaystyle 0\to M\to M\oplus N\to N\to 0.}$

Sea K un cuerpo. Entonces el grupo de Grothendieck${\displaystyle G_{0}(K)}$es un grupo abeliano generado por símbolos${\displaystyle [V]}$para cualquier espacio vectorial V de dimensión finita K. De hecho,${\displaystyle G_{0}(K)}$es isomorfo a${\displaystyle \mathbb {Z} }$cuyo generador es el elemento${\displaystyle [K]}$Aquí, el símbolo${\displaystyle [V]}$para un espacio vectorial K de dimensión finita V se define como${\displaystyle [V]=\dim _ {K}V}$, la dimensión del espacio vectorial V. Supongamos que se tiene la siguiente secuencia exacta corta de espacios vectoriales K.

${\displaystyle 0\to V\to T\to W\to 0}$

Dado que cualquier secuencia exacta corta de espacios vectoriales se divide, se cumple que${\displaystyle T\cong V\oplus W}$De hecho, para cualesquiera dos espacios vectoriales de dimensión finita V y W se cumple lo siguiente:

${\displaystyle \dim _{K}(V\oplus W)=\dim _{K}(V)+\dim _{K}(W)}$

La igualdad anterior satisface, por lo tanto, la condición del símbolo.${\displaystyle [V]}$en el grupo Grothendieck.

${\displaystyle [T]=[V\oplus W]=[V]+[W]}$

Nótese que cualesquiera dos espacios vectoriales K de dimensión finita isomorfos tienen la misma dimensión. Además, cualesquiera dos espacios vectoriales K de dimensión finita V y W de la misma dimensión son isomorfos entre sí. De hecho, todo espacio vectorial K de dimensión n finita V es isomorfo a${\displaystyle K^{\oplus n}}$La observación del párrafo anterior demuestra, por lo tanto, la siguiente ecuación:

${\displaystyle [V]=\left[K^{\oplus n}\right]=n[K]}$

Por lo tanto, cada símbolo${\displaystyle [V]}$es generado por el elemento${\displaystyle [K]}$con coeficientes enteros, lo que implica que${\displaystyle G_{0}(K)}$es isomorfo a${\displaystyle \mathbb {Z} }$con el generador${\displaystyle [K]}$.

En términos más generales, dejemos${\displaystyle \mathbb {Z} }$Sea el conjunto de los números enteros. El grupo de Grothendieck${\displaystyle G_{0}(\mathbb {Z} )}$es un grupo abeliano generado por símbolos${\displaystyle [A]}$para cualesquiera grupos abelianos finitamente generados A. Primero se observa que cualquier grupo abeliano finito G satisface que${\displaystyle [G]=0}$. La siguiente secuencia corta exacta se cumple, donde el mapa${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$es la multiplicación por n .

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \to 0}$

La secuencia exacta implica que${\displaystyle [\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ]=[\mathbb {Z} ]-[\mathbb {Z} ]=0}$, por lo que todo grupo cíclico tiene su símbolo igual a 0. Esto a su vez implica que todo grupo abeliano finito G satisface${\displaystyle [G]=0}$por el teorema fundamental de los grupos abelianos finitos.

Obsérvese que, por el teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados , todo grupo abeliano A es isomorfo a una suma directa de un subgrupo de torsión y un grupo abeliano sin torsión isomorfo a${\displaystyle \mathbb {Z} ^{r}}$para algún entero no negativo r , llamado rango de A y denotado por${\displaystyle r={\mbox{rank}}(A)}$. Defina el símbolo${\displaystyle [A]}$como${\displaystyle [A]={\mbox{rank}}(A)}$Luego el grupo Grothendieck${\displaystyle G_{0}(\mathbb {Z} )}$es isomorfo a${\displaystyle \mathbb {Z} }$con generador${\displaystyle [\mathbb {Z} ].}$En efecto, la observación del párrafo anterior muestra que cada grupo abeliano A tiene su símbolo${\displaystyle [A]}$lo mismo que el símbolo${\displaystyle [\mathbb {Z} ^{r}]=r[\mathbb {Z} ]}$dónde${\displaystyle r={\mbox{rank}}(A)}$Además, el rango del grupo abeliano satisface las condiciones del símbolo${\displaystyle [A]}$del grupo de Grothendieck. Supongamos que se tiene la siguiente secuencia exacta corta de grupos abelianos:

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

Luego, aplicamos el tensor con los números racionales.${\displaystyle \mathbb {Q} }$implica la siguiente ecuación.

${\displaystyle 0\to A\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \to B\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \to C\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \to 0}$

Dado que lo anterior es una secuencia corta y exacta de${\displaystyle \mathbb {Q} }$-espacios vectoriales, la secuencia se divide. Por lo tanto, se tiene la siguiente ecuación.

${\displaystyle \dim _{\mathbb {Q} }(B\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )=\dim _{\mathbb {Q} }(A\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )+\dim _{\mathbb {Q} }(C\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )}$

Por otro lado, también se tiene la siguiente relación; para más información, véase Rango de un grupo abeliano .

${\displaystyle \operatorname {rank} (A)=\dim _{\mathbb {Q} }(A\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )}$

Por lo tanto, se cumple la siguiente ecuación:

${\displaystyle [B]=\operatorname {rank} (B)=\operatorname {rank} (A)+\operatorname {rank} (C)=[A]+[C]}$

Por lo tanto, se ha demostrado que${\displaystyle G_{0}(\mathbb {Z} )}$es isomorfo a${\displaystyle \mathbb {Z} }$con generador${\displaystyle [\mathbb {Z} ].}$

El grupo de Grothendieck satisface una propiedad universal. Se hace una definición preliminar: Una función${\displaystyle \chi }$del conjunto de clases de isomorfismo a un grupo abeliano${\displaystyle X}$se denomina aditivo si, para cada secuencia exacta${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$, uno tiene${\displaystyle \chi (A)-\chi (B)+\chi (C)=0.}$Entonces, para cualquier función aditiva${\displaystyle \chi :R{\text{-mod}}\to X}$, existe un homomorfismo de grupo único${\displaystyle f:G_{0}(R)\to X}$de tal manera que${\displaystyle \chi }$factores a través de${\displaystyle f}$y el mapa que toma cada objeto de${\displaystyle {\mathcal {A}}}$al elemento que representa su clase de isomorfismo en${\displaystyle G_{0}(R).}$Concretamente esto significa que${\displaystyle f}$satisface la ecuación${\displaystyle f([V])=\chi (V)}$para cada finitamente generado${\displaystyle R}$-módulo${\displaystyle V}$y${\displaystyle f}$es el único homomorfismo de grupo que hace eso.

Ejemplos de funciones aditivas son la función de caracteres de la teoría de la representación : Si${\displaystyle R}$es de dimensión finita${\displaystyle k}$-álgebra, entonces se puede asociar el carácter${\displaystyle \chi _{V}:R\to k}$a cada dimensión finita${\displaystyle R}$-módulo${\displaystyle V:\chi _{V}(x)}$se define como la huella de la${\displaystyle k}$- mapa lineal que se obtiene mediante la multiplicación por el elemento${\displaystyle x\in R}$en${\displaystyle V}$.

Al elegir una base adecuada y escribir las matrices correspondientes en forma triangular por bloques, se observa fácilmente que las funciones de caracteres son aditivas en el sentido antes mencionado. Por la propiedad universal, esto nos da un "carácter universal".${\displaystyle \chi :G_{0}(R)\to \mathrm {Hom} _{K}(R,K)}$de tal manera que${\displaystyle \chi ([V])=\chi _{V}}$.

Si${\displaystyle k=\mathbb {C} }$y${\displaystyle R}$es el anillo del grupo${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$de un grupo finito${\displaystyle G}$entonces este mapa de caracteres incluso proporciona un isomorfismo natural de${\displaystyle G_{0}(\mathbb {C} [G])}$y el anillo de personajes${\displaystyle Ch(G)}$. En la teoría de representación modular de grupos finitos,${\displaystyle k}$puede ser un campo${\displaystyle {\overline {\mathbb {F} _{p}}},}$el cierre algebraico del cuerpo finito con p elementos. En este caso, la aplicación definida análogamente que asocia a cada${\displaystyle k[G]}$-módulo su carácter de Brauer es también un isomorfismo natural${\displaystyle G_{0}({\overline {\mathbb {F} _{p}}}[G])\to \mathrm {BCh} (G)}$sobre el anillo de personajes de Brauer. De esta forma, los grupos de Grothendieck aparecen en la teoría de la representación.

Esta propiedad universal también hace que${\displaystyle G_{0}(R)}$el 'receptor universal' de características de Euler generalizadas . En particular, para cada complejo acotado de objetos en${\displaystyle R{\text{-mod}}}$

${\displaystyle \cdots \to 0\to 0\to A^{n}\to A^{n+1}\to \cdots \to A^{m-1}\to A^{m}\to 0\to 0\to \cdots }$

uno tiene un elemento canónico

${\displaystyle [A^{*}]=\sum _{i}(-1)^{i}[A^{i}]=\sum _{i}(-1)^{i}[H^{i}(A^{*})]\in G_{0}(R).}$

De hecho, el grupo de Grothendieck se introdujo originalmente para el estudio de las características de Euler.