Conteo de votos únicos transferibles

Cuando Thomas Hare concibió originalmente su versión del voto único transferible, imaginó utilizar la cuota:

${\displaystyle {\frac {\text{votos}}{\text{asientos}}}}$

La cuota de Hare es matemáticamente sencilla. Su gran tamaño implica que los miembros electos tienen menos votos sobrantes y, por lo tanto, otros candidatos no se benefician de tantas transferencias de votos como lo harían en otros sistemas. Algunos candidatos pueden ser eliminados en el proceso, algo que no habría ocurrido en sistemas que transfieren más votos sobrantes. Su eliminación puede generar un grado de desproporcionalidad que sería menos probable con una cuota menor, como la cuota de Droop.

La fórmula de cuota más común es la cuota de Droop , que es un número mayor que esta cantidad:

La cuota de Droop siempre es un número menor de votos que el calculado mediante el método Hare.

Debido a esta diferencia, en Droop es más probable que los ganadores alcancen la cuota que ser elegidos como el último candidato restante después de que otros candidatos sean eliminados o elegidos. Pero en las elecciones de la vida real, si las papeletas válidas no requieren que todos los candidatos estén clasificados, es común incluso en Droop que uno o dos candidatos sean elegidos con una cuota parcial al final, a medida que el grupo de candidatos se reduce al número de escaños vacantes restantes y a medida que los votos válidos aún en juego se vuelven más escasos.

El uso del sistema Droop excluye aproximadamente una cuota completa de votos, ya sea porque se declaran agotados o porque pertenecen a candidatos perdedores, y por lo tanto, se ignoran. A diferencia de un sistema que utiliza la cuota Hare y el marcado completo obligatorio de la papeleta, con las variantes STV que utilizan el voto preferencial opcional y la cuota Droop, un cierto porcentaje de las papeletas no se utiliza para elegir a nadie. Como resultado, algunos afirman que la cuota Droop tiende a ser desproporcionada y está sesgada a favor de los partidos grandes. ^{[ 1 ]}

El sistema de cuotas de Droop y el sistema electoral Hare-Clark se diseñaron para facilitar el recuento manual de votos. Con la introducción de los sistemas de recuento informatizados, algunos los consideran obsoletos y defectuosos, ya que no reflejan la voluntad de los votantes. Con la adopción de la tecnología informática, un sistema de recuento reiterativo, como el sistema Wright, podría ser preferible, puesto que refleja con mayor precisión la voluntad de los votantes. En un sistema reiterativo, no existe necesidad ni justificación para el uso de la cuota de Droop.

Sin embargo, la mayoría de los sistemas STV utilizados en el mundo emplean Droop. Muchos afirman que es más justo para los partidos grandes que Hare. ^{[ 2 ]} Con Droop, un grupo que represente al menos la mitad de todos los votantes tiene garantizado el control de al menos la mitad de todos los escaños, lo cual no siempre ocurre con la cuota de Hare. ^{[ 3 ]} Además, Droop , al ser más pequeño que Hare , puede otorgar un escaño a un partido pequeño, algo que no sucede con Hare.  

Si la transferencia corresponde al excedente recibido en el primer recuento, las transferencias se realizan en función de todos los votos que obtuvo el candidato ganador.

Si la transferencia es de excedentes recibidos después del primer recuento a través de una transferencia de otro candidato, las transferencias se realizan con referencia a todos los votos que tiene el candidato ganador o simplemente con referencia a la transferencia más reciente recibida por el candidato ganador.

Las papeletas de reasignación se extraen al azar de entre las recibidas más recientemente. En un recuento manual de papeletas, este es el método más sencillo de implementar.

Los votos se transfieren como votos completos. No se utilizan votos fraccionados.

Este sistema es similar a la propuesta original de Thomas Hare de 1857. Se utiliza en las elecciones de la República de Irlanda para el Dáil Éireann (la cámara baja), ^{[ 5 ]} para el gobierno local , ^{[ 6 ]} para el Parlamento Europeo , ^{[ 7 ]} y para las circunscripciones universitarias en el Seanad Éireann (la cámara alta). ^{[ 8 ]}

A veces se describe como un proceso "aleatorio" porque no considera las preferencias de respaldo posteriores, sino solo la siguiente opción disponible. Mediante la selección aleatoria de los votos para conformar la transferencia, estadísticamente, estas suelen reflejar la composición de los votos del candidato ganador.

En ocasiones, las papeletas del candidato electo se mezclan manualmente. En Cambridge, Massachusetts , los votos se cuentan distrito por distrito, lo que impone un ordenamiento erróneo. Para evitar que todas las papeletas transferidas provengan del mismo distrito, se selecciona cada papeleta -ésima, donde es la fracción que se va a seleccionar.${\displaystyle n}$${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{n}}\end{matrix}}}$

El sistema Wright es un proceso de recuento lineal reiterativo en el que, tras la exclusión de cada candidato, se reinicia la cuota y se vuelven a contar los votos, distribuyéndolos según el orden de preferencia indicado por los votantes y excluyendo a los candidatos que se eliminan del recuento como si no hubieran sido nominados.

Para cada candidato que supere el umbral de la cuota, calcule la proporción entre los votos sobrantes de ese candidato (es decir, el exceso sobre la cuota) y el número total de votos obtenidos por dicho candidato, incluyendo el valor de las transferencias anteriores. Transfiera los votos de ese candidato al siguiente aspirante preferido de cada votante. Incremente el recuento de votos del receptor en el producto de la proporción y el valor de la papeleta de la transferencia anterior (1 para el recuento inicial).

Cada preferencia se sigue contabilizando hasta que se agoten las opciones en la papeleta o finalice la elección. Su principal desventaja radica en que, ante un gran número de votos, candidatos o escaños, el recuento manual resulta administrativamente engorroso debido a la cantidad de interacciones. Esto no ocurre con la distribución informatizada de los votos preferenciales.

Esta variante se utiliza en las elecciones a la cámara baja de Tasmania y del Territorio de la Capital Australiana (ACT). Se emplea el método Gregory (transferencia de votos fraccionarios), pero la asignación de las transferencias se basa únicamente en la siguiente preferencia utilizable marcada en los votos del último paquete transferido al candidato ganador. ^{[ 9 ]}

El último método de transferencia de votos ha sido criticado por ser intrínsecamente defectuoso, ya que solo se utiliza un segmento de votos para transferir el valor de los votos sobrantes, negando a los demás votantes que contribuyeron al éxito de un candidato la posibilidad de participar en la distribución de dicho excedente. En la siguiente explicación, Q representa la cuota requerida para la elección.

1. Contar los votos de primera preferencia.
2. Declarar ganadores a aquellos candidatos cuyo total sea al menos Q.
3. Para cada ganador, calcule el excedente (número total de votos menos Q).
4. Para cada ganador, en orden descendente de superávit:
   1. Asigne las papeletas de ese ganador a los candidatos según la siguiente preferencia utilizable en cada papeleta del último paquete recibido, apartando las papeletas agotadas.
   2. Calcula la proporción entre el excedente y el número de papeletas reasignadas, o 1 si el número de dichas papeletas es menor que el excedente.
   3. Para cada candidato, multiplique la proporción por el número de votos reasignados de ese candidato y sume el resultado (redondeado hacia abajo) al total del candidato.
5. Repita los pasos 3 a 5 hasta que los ganadores ocupen todos los puestos o se agoten todas las papeletas.
6. Si se necesitan más ganadores, declare perdedor al candidato con menos votos y reasigne las papeletas de ese candidato según la siguiente preferencia de cada papeleta.

Dos puestos deben ser cubiertos entre cuatro candidatos: Andrea, Brad, Carter y Delilah. 57 votantes emitieron sus votos con el siguiente orden de preferencia:

La cuota se calcula como . En la primera ronda, Andrea es elegida y sus 20 votos sobrantes se transfieren. En la segunda, Carter, el candidato con menos votos, queda excluido. Sus 8 votos tienen a Brad como siguiente opción. Esto le da a Brad 20 votos (superando la cuota), eligiéndolo para el segundo puesto:${\displaystyle {57 \over 2+1}=19}$

Otros sistemas, como los utilizados en Ashtabula, Kalamazoo, Sacramento y Cleveland, estipulan que los votos que se transferirán se sortearán aleatoriamente, pero en igual número, en cada mesa electoral. En el sistema STV utilizado en Cincinnati (1924-1957) y en las elecciones municipales de Cambridge, los votos recibidos por el candidato ganador se numeraban secuencialmente; luego, si los votos sobrantes representaban una cuarta parte de los votos obtenidos por el candidato ganador, cada voto cuyo número fuera múltiplo de cuatro se extraía y se transfería a la siguiente preferencia marcada utilizable en cada uno de esos votos. (En los sistemas STV británico, irlandés y canadiense, se utilizó el método de voto completo descrito anteriormente). ^{[ 10 ]}

El método Gregory, conocido como reglas senatoriales (por su uso en la mayoría de los escaños en las elecciones al Senado irlandés ) o simplemente método Gregory (por su inventor en 1880, J.B. Gregory de Melbourne ), elimina toda aleatoriedad. En lugar de transferir una fracción de los votos a su valor total , transfiere cada uno de los votos relevantes a un valor fraccional .

En el ejemplo anterior, la fracción relevante es . Tenga en cuenta que parte del resultado de 272 votos puede provenir de transferencias anteriores; por ejemplo, tal vez Y fue elegido con 250 votos, 150 con X como siguiente preferencia, de modo que la transferencia anterior de 30 votos fue en realidad 150 papeletas con un valor de . En este caso, estas 150 papeletas se volverían a transferir con un valor fraccional compuesto de .${\displaystyle \textstyle {\frac {72}{272-92}}={\frac {4}{10}}}$${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{5}}}$${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{5}}\times {\frac {4}{10}}={\frac {4}{50}}}$

En la República de Irlanda, el método Gregory se utiliza para las elecciones a los 43 escaños de los paneles vocacionales en Seanad Éireann , cuyo derecho a voto está restringido a 949 miembros de las autoridades locales y miembros del Oireachtas (el Parlamento irlandés). ^{[ 11 ]} En Irlanda del Norte , el método Gregory se ha utilizado desde 1973 para todas las elecciones STV, con hasta 7 transferencias fraccionarias (en las elecciones de los consejos de distrito de 8 escaños) y hasta 700.000 votos contados (en las elecciones al Parlamento Europeo de 3 escaños para la circunscripción de Irlanda del Norte de la UE desde 1979 hasta 2020).

Una forma alternativa de expresar a Gregory en el cálculo del valor de transferencia excedente aplicado a cada voto es $${\displaystyle {\text{surplus transfer value}}=\left({{{\text{total value of candidate's votes}}-{\text{quota}}} \over {\text{total value of candidate's votes}}}\right)\times {\text{value of each vote}}}$$

El método Gregory inclusivo no ponderado se utiliza para el Senado australiano . ^{[ 12 ]} Este método pondera por igual todas las papeletas del candidato electo. Esto puede distorsionar los valores de transferencia cuando un número significativo de papeletas se han transferido a una tasa baja. $${\displaystyle {\text{surplus transfer value}}={{{\text{total value of candidate's votes}}-{\text{quota}}} \over {\text{ballot papers for candidate}}}}$$

Ese problema se soluciona con el método Gregory inclusivo ponderado.

Algunos métodos de Gregory en uso transfieren solo números enteros compuestos al sumar los distintos votos fraccionarios. Esto simplifica las matemáticas. ^{[ 13 ]}

El efecto del sistema Gregory puede replicarse sin utilizar valores fraccionarios mediante un método de asignación proporcional por listas de partidos , como D'Hondt , Webster/Sainte-Laguë o Hare-Niemeyer . Un sistema electoral de representación proporcional por listas de partidos asigna una parte de los escaños de una legislatura a un partido político en proporción a su porcentaje de votos, una tarea que es matemáticamente equivalente a establecer una proporción de votos sobrantes que se transferirán a un candidato aspirante en función del voto total de un candidato eliminado.

Ejemplo: Si la cuota es de 200 y un ganador tiene 272 votos de primera opción, entonces sobran 72 votos. Si 92 de los 272 votos del ganador no tienen ningún otro candidato en la lista, entonces los 180 votos restantes tienen una segunda opción y pueden transferirse.

De los 180 votos que se pueden transferir, 75 tienen al candidato X como su segunda opción, 43 al candidato Y y 62 al candidato Z. Se aplica el sistema D'Hondt para determinar cómo se transferirían los votos sobrantes : se calculan cocientes sucesivos para cada candidato, se transfiere un voto sobrante al candidato con el cociente más alto y se vuelve a calcular el cociente de dicho candidato; este proceso se repite hasta que se hayan transferido todos los votos sobrantes. 

Como resultado de este proceso, 30 votos sobrantes se transfirieron al candidato X, 17 al candidato Y y 25 al candidato Z.

En 1969, BL Meek ideó un algoritmo de recuento de votos basado en las reglas de recuento de votos senatoriales ( Gregory ). El algoritmo de Meek utiliza una aproximación iterativa para evitar la recursión infinita que se produce cuando existen preferencias secundarias por ganadores anteriores. Este sistema se utiliza actualmente en algunas elecciones locales de Nueva Zelanda [ ^{14 ] [ 15 ]} y en la elección de moderadores en algunos sitios web, como los portales ^de Stack Exchange ^{[ 16 ]} .

A todos los candidatos se les asigna uno de tres estados : aspirante, electo o excluido. El estado predeterminado es aspirante. Cada estado tiene una ponderación , o valor de retención , que es la fracción del voto que un candidato recibirá por las preferencias que se le asignen mientras mantenga dicho estado. 

Las ponderaciones son:

Por lo tanto, si un candidato tiene esperanzas, conserva la totalidad de las preferencias restantes que se le asignaron, y las preferencias posteriores valen 0.

Si un candidato es elegido, conserva la porción del valor de las preferencias que se le asignaron que corresponde al valor de su ponderación ; el resto se pasa fraccionariamente a las preferencias subsiguientes según su ponderación. Por ejemplo, consideremos una papeleta con las preferencias principales A, B, C y D en ese orden, donde las ponderaciones de los candidatos son , , , y , respectivamente. De esta papeleta, A conservará , B conservará , C conservará y D conservará .${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle d}$${\displaystyle r_{A}=a}$${\displaystyle r_{B}=(1-a)b}$${\displaystyle r_{C}=(1-a)(1-b)c}$${\displaystyle r_{D}=(1-a)(1-b)(1-c)d}$

Si ningún candidato en una papeleta tiene un peso de 1, entonces la suma total retenida por los candidatos en la papeleta será estrictamente menor que 1. La cantidad en que 1 excede el total de la papeleta se llama "exceso", y el exceso total de todas las papeletas se elimina alterando la cuota. El método de Meek es el único método para cambiar la cuota a mitad del proceso. La cuota se encuentra mediante

$${\displaystyle {{{\text{votes}}-{\text{excess}}} \over {\text{seats}}+1},}$$ Una variación de Droop. Esto tiene el efecto de alterar también la ponderación de cada candidato.

Este proceso continúa hasta que los valores de voto de todos los candidatos electos coincidan estrechamente con la cuota (más o menos 0,0001%). ^{[ 17 ]}

En 1994, CHE Warren propuso otro método para transferir los votos sobrantes a los candidatos previamente electos. ^{[ 18 ]} Warren es idéntico a Meek excepto en la cantidad de votos que conservan los ganadores. Según Warren, en lugar de conservar esa proporción del valor de cada voto dada al multiplicar la ponderación por el valor del voto, el candidato conserva esa cantidad de un voto completo dada por la ponderación , o bien lo que quede del valor del voto si este es menor que la ponderación .

Consideremos nuevamente una papeleta con preferencias principales A, B, C y D donde las ponderaciones son a , b , c y d . Según el método de Warren, A conservará r _A = a , B conservará r _B = min( b , 1− r _A ) , C conservará r _C = min( c , 1− r _A − r _B ) y D conservará r _D = min( d , 1− r _A − r _B − r _C ) .

Debido a que los candidatos reciben diferentes valores de votos, las ponderaciones determinadas por Warren son, en general, diferentes a las de Meek.

Bajo el mandato de Warren, cada voto que contribuye a un candidato contribuye, en la medida de lo posible, con la misma porción que cualquier otro voto de este tipo. ^{[ 19 ]}

Las reglas de exclusión masiva pueden reducir la cantidad de pasos necesarios en un recuento. La exclusión masiva requiere el cálculo de puntos de corte . Cualquier candidato con un recuento inferior a un punto de corte puede incluirse en un proceso de exclusión masiva siempre que el valor de la suma acumulada asociada no sea mayor que la diferencia entre el valor total del recuento del aspirante con mayor puntuación y la cuota.

Para determinar un punto de ruptura, enumere en orden descendente el recuento de cada candidato y calcule el recuento acumulado de todos los votos de los candidatos que sean menores que el recuento del candidato asociado. Los cuatro tipos son:

• Punto de ruptura de cuota: el valor total acumulado más alto que es menor a la mitad de la cuota.
• Punto de quiebre acumulado: el recuento más alto del candidato que es menor que el total acumulado asociado.
• Punto de inflexión del grupo: El recuento más alto del candidato dentro de un grupo que sea menor que el total acumulado de los candidatos del grupo cuyo recuento sea menor que el recuento del candidato asociado. (Esto solo se aplica cuando existen grupos definidos de candidatos, como en las elecciones públicas australianas, que utilizan un método de votación grupal por encima de la línea ).
• Punto de ruptura aplicado: El total acumulado más alto que sea menor que la diferencia entre el recuento del candidato con mayor puntuación y la cuota (es decir, el recuento de votos de los candidatos con menor puntuación no afecta el resultado). Todos los candidatos que superen el punto de ruptura aplicado continúan en la siguiente iteración.

Los umbrales de cuota podrían no aplicarse con votaciones preferenciales opcionales o si hay más de un escaño vacante. Los candidatos que superen el umbral aplicado no deben incluirse en un proceso de exclusión masiva, a menos que se trate de una cuota adyacente o un umbral continuo (véase el ejemplo del recuento del Senado de Tasmania de 2007 a continuación).