Tren de gravedad

Un tren de gravedad es un medio de transporte teórico para desplazarse entre dos puntos de la superficie de una esfera , siguiendo un túnel recto que conecta los dos puntos a través del interior de la esfera.

En un cuerpo celeste de gran tamaño, como un planeta , este tren podría acelerarse únicamente por la fuerza de la gravedad , ya que durante la primera mitad del trayecto (desde el punto de partida hasta la mitad), la fuerza de atracción hacia el centro de gravedad lo impulsaría hacia el destino. Durante la segunda mitad del trayecto, la aceleración sería en sentido contrario a la trayectoria, pero, ignorando los efectos de la fricción , el momento lineal adquirido durante la primera mitad de la trayectoria sería igual a esta desaceleración y, como resultado, la velocidad del tren llegaría a cero aproximadamente en el momento en que alcanzara su destino. ^{[ 1 ]}

En el siglo XVII, el científico británico Robert Hooke presentó la idea de un objeto acelerando dentro de un planeta en una carta a Isaac Newton . Un proyecto de tren de gravedad fue presentado seriamente a la Academia Francesa de Ciencias en el siglo XIX. La misma idea fue propuesta, sin cálculos, por Lewis Carroll en 1893 en Sylvie and Bruno Concluded . La idea fue redescubierta en la década de 1960 cuando el físico Paul Cooper publicó un artículo en el American Journal of Physics sugiriendo que los trenes de gravedad se consideraran para un futuro proyecto de transporte. ^{[ 2 ]}

Bajo la suposición de un planeta esférico con densidad uniforme, e ignorando los efectos relativistas y la fricción, un tren gravitatorio tiene las siguientes propiedades: ^{[ 3 ]}

• La duración de un viaje depende únicamente de la densidad del planeta y de la constante gravitacional , pero no del diámetro del planeta.
• La velocidad máxima se alcanza en el punto medio de la trayectoria.

Para trenes gravitatorios entre puntos que no son antípodas entre sí, se cumple lo siguiente:

• El túnel temporal más corto a través de una Tierra homogénea es una hipocicloide ; en el caso especial de dos puntos antipodales, la hipocicloide degenera en una línea recta.
• Todos los trenes gravitatorios en línea recta sobre un planeta determinado tardan exactamente el mismo tiempo en completar un viaje (es decir, independientemente de dónde se encuentren en la superficie los dos puntos extremos de su trayectoria).

En el planeta Tierra específicamente, dado que el movimiento de un tren gravitatorio es la proyección del movimiento de un satélite en órbita muy baja sobre una línea, tiene los siguientes parámetros:

• El tiempo de viaje es de 2530,30 segundos (casi 42,2 minutos, la mitad del período de un satélite en órbita terrestre baja), suponiendo que la Tierra fuera una esfera perfecta de densidad uniforme.
• Al tener en cuenta la distribución de densidad realista dentro de la Tierra, como se conoce a partir del modelo de referencia preliminar de la Tierra , el tiempo de caída esperado se reduce de 42 a 38 minutos. ^{[ 4 ]}

Para poner las cifras en perspectiva, el pozo más profundo actualmente es el Pozo Superprofundo de Kola, con una profundidad real de 12.262 metros; cubrir la distancia entre Londres y París (350  km) mediante una trayectoria hipocicloidal requeriría la creación de un pozo de 111.408 metros de profundidad. No solo esa profundidad es nueve veces mayor, sino que también requeriría un túnel que atravesara el manto terrestre .

El trayecto en línea recta entre Londres y París requeriría una profundidad máxima de tan solo 2,4 kilómetros, muy por debajo de la profundidad que alcanzan las minas subterráneas. Dicho túnel tendría una inclinación inicial de 1,57 grados.

Utilizando las aproximaciones de que la Tierra es perfectamente esférica y de densidad uniforme${\displaystyle \rho }$y el hecho de que dentro de una esfera hueca uniforme no hay gravedad, la aceleración gravitacional${\displaystyle a}$La experiencia de un cuerpo dentro de la Tierra es proporcional a la relación de la distancia desde el centro.${\displaystyle r}$al radio de la Tierra${\displaystyle R}$Esto se debe a que está bajo tierra a distancia${\displaystyle r}$desde el centro es como estar en la superficie de un planeta de radio${\displaystyle r}$, dentro de una esfera hueca que no aporta nada.

${\displaystyle a={\frac {GM}{r^{2}}}={\frac {G\rho V}{r^{2}}}={\frac {G\rho {\frac {4}{3}}\pi \,r^{3}}{r^{2}}}=G\rho {\frac {4}{3}}\pi \,r}$

En la superficie,${\displaystyle r=R}$, por lo tanto, la aceleración gravitacional es${\displaystyle g=G\rho {\frac {4}{3}}\pi \,R}$Por lo tanto, la aceleración gravitacional en${\displaystyle r}$es

${\displaystyle a={\frac {r}{R}}\,g}$

Camino recto entre dos puntos arbitrarios

Para el caso más general de la trayectoria en línea recta entre dos puntos cualesquiera de la superficie de una esfera, calculamos la aceleración del cuerpo a medida que se mueve sin fricción a lo largo de su trayectoria recta.

El cuerpo viaja a lo largo de AOB, siendo O el punto medio del camino y el punto más cercano al centro de la Tierra en este camino. A distancia${\displaystyle r}$A lo largo de este camino, la fuerza de la gravedad${\displaystyle g_{r}}$(dirigido desde el punto X hacia el centro de la Tierra, a lo largo${\displaystyle XC}$) depende linealmente de la distancia${\displaystyle x}$al centro de la Tierra como se indicó anteriormente. (Expresado en términos de${\displaystyle r}$y utilizando la taquigrafía${\displaystyle b=R\sin \theta }$para longitud OC,${\displaystyle x={\sqrt {r^{2}+b^{2}}}}$). Tenemos:

${\displaystyle g_{r}={\frac {x}{R}}\,g}$

La aceleración resultante sobre el cuerpo, debido a que se encuentra sobre una superficie inclinada sin fricción , es${\displaystyle g_{r}\cos \varphi }$:

${\displaystyle a_{r}=g_{r}\cos \varphi}$

Pero${\displaystyle \cos \varphi =r/x}$, por lo tanto, sustituyendo ambos:

${\displaystyle a_{r}=({\frac {x}{R}}\,g)\,{\frac {r}{x}}={\frac {r}{R}}\,g}$

lo cual es exactamente lo mismo para este nuevo${\displaystyle r}$, distancia a lo largo de AOB desde O, como para el${\displaystyle r}$en el caso diametral a lo largo de ACD. Por lo tanto, el análisis restante es el mismo, teniendo en cuenta la condición inicial de que el máximo${\displaystyle r}$es${\displaystyle R\cos \theta =AO}$La ecuación completa del movimiento es

${\displaystyle r_{t}=R\cos \theta \cos {\sqrt {\frac {g}{R}}}\,t}$

La constante de tiempo${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {g}{R}}}}$es lo mismo que en el caso diametral, por lo que el tiempo de viaje sigue siendo de 42 minutos; es solo que todas las distancias y velocidades se escalan por la constante${\displaystyle \cos \theta }$.

En la película de 2012 Total Recall , un tren de gravedad llamado "The Fall" atraviesa el centro de la Tierra para viajar entre Europa Occidental y Australia. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

• Curva braquistócrona
• Funicular
• Hyperloop
• Almacenamiento de energía en ferrocarriles
• Afinación Schuler
• Colonización del cinturón de asteroides
• ascensor espacial

• Descripción del concepto Tren gravitatorio y solución matemática ( página web de Alexandre Eremenko en la Universidad de Purdue ).

• Una simulación de este movimiento; incluye túneles que no pasan por el centro de la Tierra. También muestra un satélite con el mismo período.
• El Expreso de Gravedad
• A cualquier lugar en 42 minutos