Lóbulos de rejilla

En antenas de apertura discreta (como las de fase ) donde el espaciado entre elementos es mayor que media longitud de onda, un efecto de aliasing espacial permite que las ondas planas incidentes en la antena desde ángulos visibles distintos a la dirección deseada se sumen coherentemente, generando lóbulos de difracción . Estos lóbulos son indeseables e idénticos al lóbulo principal . La diferencia percibida en los lóbulos de difracción se debe al patrón de radiación de los elementos de antena no isótropos, que afecta de manera diferente a los lóbulos principal y de difracción. En el caso de elementos de antena isótropos, los lóbulos principal y de difracción son idénticos.

En los conjuntos de antenas o transductores, un lóbulo de rejilla se define como "un lóbulo distinto del lóbulo principal, producido por una antena de matriz cuando el espaciado entre elementos es suficientemente grande como para permitir la suma en fase de campos radiados en más de una dirección". ^{[ 1 ]}

Para ilustrar el concepto de lóbulos de rejilla, utilizaremos una matriz lineal uniforme simple . El patrón de haz (o factor de matriz ) de cualquier matriz se puede definir como el producto escalar del vector de dirección y el vector de la variedad de la matriz . Para una matriz lineal uniforme, el vector de la variedad es${\displaystyle {\vec {v}}(\psi )=e^{j\left(n-{\frac {N-1}{2}}\right)\psi }}$, dónde${\displaystyle \psi }$es la diferencia de fase entre elementos adyacentes creada por una onda plana incidente desde una dirección arbitraria,${\displaystyle n}$es el número del elemento, y${\displaystyle N}$es el número total de elementos. El${\displaystyle {\frac {N-1}{2}}}$El término simplemente centra el punto de referencia de la fase en el centro físico del conjunto. A partir de la geometría simple,${\displaystyle \psi }$se puede demostrar que es${\displaystyle \psi ={\frac {2\pi }{\lambda }}d\times \cos \theta }$, dónde${\displaystyle \theta }$se define como el ángulo de incidencia de la onda plana donde${\displaystyle \theta =90^{\circ }}$es una onda plana incidente ortogonal al conjunto (desde el eje principal). ^{[ 2 ]}

Para una matriz lineal uniformemente ponderada (sin atenuación), el vector de dirección tiene una forma similar al vector de la variedad, pero está "dirigido" a una fase objetivo,${\displaystyle \psi _{T}}$, que puede diferir de la fase real,${\displaystyle \psi }$de la señal incidente. El factor de matriz normalizado resultante es una función de la diferencia de fase,${\displaystyle \psi _{\Delta }=\psi -\psi _{T}}$. ^{[ 3 ]}

${\displaystyle AF={\frac {1}{N}}{\vec {v}}^{H}(\psi _{T}){\vec {v}}(\psi )={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}e^{-j\left(n-{\frac {N-1}{2}}\right)\psi _{T}}e^{j\left(n-{\frac {N-1}{2}}\right)\psi }={\frac {1}{N}}e^{-j{\frac {N-1}{2}}\psi _{\Delta }}\sum _{n=0}^{N-1}e^{jn\psi _{\Delta }}={\frac {\sin \left(N{\frac {\psi _{\Delta }}{2}}\right)}{N\sin \left({\frac {\psi _{\Delta }}{2}}\right)}},-\infty <\psi _{\Delta }<\infty }$

Por lo tanto, el factor de matriz es periódico y se maximiza cuando tanto el numerador como el denominador son iguales a cero, según la regla de L'Hôpital . Así, se obtiene un máximo de uno para todos los números enteros.${\displaystyle n}$, dónde${\displaystyle \psi _{\Delta }=2\pi n}$. Volviendo a nuestra definición de${\displaystyle \theta }$, deseamos poder dirigir electrónicamente el conjunto en toda la región visible , que se extiende desde${\displaystyle \theta =0^{\circ }}$a${\displaystyle \theta =180^{\circ }}$, sin incurrir en un lóbulo de rejilla. Esto requiere que los lóbulos de rejilla estén separados por al menos${\displaystyle 180^{\circ }}$. Desde la definición de${\displaystyle \psi }$, vemos que los máximos ocurrirán siempre que${\displaystyle 2\pi n={\frac {2\pi }{\lambda }}d\times \left(\cos \theta -\cos \theta _{T}\right)}$El primer lóbulo de rejilla aparecerá en${\displaystyle |n|=1}$. Para un haz dirigido a${\displaystyle \theta _{T}=180^{\circ }}$, requerimos que el lóbulo de la rejilla no esté más cerca que${\displaystyle \theta =0^{\circ }}$. De este modo${\displaystyle d={\frac {2\pi \lambda }{2\pi \left(1+1\right)}}={\frac {\lambda }{2}}}$.

Alternativamente, se puede pensar en una matriz lineal uniforme (ULA) como un muestreo espacial de una señal en el mismo sentido que el muestreo temporal de una señal. Los lóbulos de rejilla son idénticos al aliasing que ocurre en el análisis de series temporales para una señal submuestreada. ^{[ 4 ]} Según el teorema de muestreo de Shannon , la frecuencia de muestreo debe ser al menos el doble de la frecuencia más alta de la señal deseada para evitar el aliasing espectral. Debido a que el patrón de haz (o factor de matriz ) de una matriz lineal es la transformada de Fourier del patrón de elementos, ^{[ 5 ]} el teorema de muestreo se aplica directamente, pero en el dominio espacial en lugar del espectral. La transformada discreta de Fourier en tiempo (DTFT) de una señal muestreada es siempre periódica, produciendo "copias" del espectro a intervalos de la frecuencia de muestreo. En el dominio espacial, estas copias son los lóbulos de rejilla. El análogo de la frecuencia angular en el dominio del tiempo es el número de onda ,${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$radianes por metro, en el dominio espacial. Por lo tanto, la tasa de muestreo espacial, en muestras por metro, debe ser${\displaystyle \geq 2{\frac {muestras}{ciclo}}\times {\frac {k{\frac {radianes}{metro}}}{2\pi {\frac {radianes}{ciclo}}}}}$. El intervalo de muestreo, que es el inverso de la frecuencia de muestreo, en metros por muestra, debe ser${\displaystyle \leq {\frac {\lambda }{2}}}$.