Graficar función continua

En matemáticas , particularmente en teoría de juegos y economía matemática , una función es continua respecto de una gráfica si su gráfica —el conjunto de todos los pares entrada-salida— es un conjunto cerrado en la topología producto del dominio y el codominio. En términos más sencillos, si una sucesión de puntos en la gráfica converge, su punto límite también debe pertenecer a la gráfica. Este concepto, relacionado con la propiedad de grafo cerrado en análisis funcional , permite una clase más amplia de funciones de pago discontinuas, a la vez que posibilita el análisis de equilibrio en modelos económicos.

La continuidad de grafos cobró relevancia gracias al trabajo de Partha Dasgupta y Eric Maskin en su artículo de 1986 sobre la existencia de equilibrios en juegos económicos discontinuos. ^{[ 1 ]} A diferencia de la continuidad estándar , que requiere pequeños cambios en los insumos para producir pequeños cambios en los productos, la continuidad de grafos permite ciertas discontinuidades bien definidas. Esta propiedad es crucial para establecer equilibrios en contextos como la teoría de subastas , los modelos de oligopolio y la competencia por la localización , donde surgen naturalmente discontinuidades en las ganancias.

Considera un juego con${\displaystyle N}$agentes con agente${\displaystyle i}$tener estrategia${\displaystyle A_{i}\subseteq \mathbb {R} }$; escribir${\displaystyle \mathbf {a} }$para una N-tupla de acciones (es decir,${\displaystyle \mathbf {a} \in \prod _{j=1}^{N}A_{j}}$) y${\displaystyle \mathbf {a} _{-i}=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{N})}$como vector de las acciones de todos los agentes, excepto del agente${\displaystyle i}$.

Dejar${\displaystyle U_{i}:A_{i}\longrightarrow \mathbb {R} }$sea ​​la función de pago para el agente${\displaystyle i}$.

Un juego se define como${\displaystyle [(A_{i},U_{i});i=1,\ldots ,N]}$.

Función${\displaystyle U_{i}:A\longrightarrow \mathbb {R} }$¿es continua la gráfica si para todo${\displaystyle \mathbf {a} \in A}$existe una función${\displaystyle F_{i}:A_{-i}\longrightarrow A_{i}}$de tal manera que${\displaystyle U_{i}(F_{i}(\mathbf {a} _{-i}),\mathbf {a} _{-i})}$es continuo en${\displaystyle \mathbf {a} _{-i}}$.

Dasgupta y Maskin denominaron a esta propiedad "continuidad gráfica" porque, si se representa gráficamente la ganancia de un jugador en función de su propia estrategia (manteniendo fijas las estrategias de los demás jugadores), entonces una función de ganancia continua respecto de la gráfica dará como resultado que esta gráfica cambie continuamente a medida que se varían las estrategias de los demás jugadores.

Esta propiedad resulta interesante a la luz del siguiente teorema.

Si, por${\displaystyle 1\leq i\leq N}$,${\displaystyle A_{i}\subseteq \mathbb {R} ^{m}}$es no vacío, convexo y compacto ; y si${\displaystyle U_{i}:A\longrightarrow \mathbb {R} }$es cuasi cóncava en${\displaystyle a_{i}}$, semicontinuo superior en${\displaystyle \mathbf {a} }$y gráfica continua, entonces el juego${\displaystyle [(A_{i},U_{i});i=1,\ldots ,N]}$posee un equilibrio de Nash de estrategia pura .

• Partha Dasgupta y Eric Maskin, 1986. «La existencia de equilibrio en juegos económicos discontinuos, I: teoría». The Review of Economic Studies , 53(1):1–26