Principio cuadrado

En la teoría matemática de conjuntos , un principio cuadrado es un principio combinatorio que afirma la existencia de una secuencia coherente de conjuntos cortos cerrados no acotados (clubes) de modo que ningún conjunto (club largo) es coherente con todos ellos. Como tales, pueden verse como una especie de fenómeno de incompacidad . ^{[ 1 ]} Fueron introducidos por Ronald Jensen en su análisis de la estructura fina del universo construible L .

Definimos Sing como la clase de todos los ordinales límite que no son regulares . Global square indica que existe un sistema${\displaystyle (C_{\beta })_{\beta \in \mathrm {Cantar} }}$satisfactorio:

1. ${\displaystyle C_{\beta }}$es un conjunto de club de${\displaystyle \beta }$.
2. Antiguo Testamento${\displaystyle (C_{\beta })<\beta }$
3. Si${\displaystyle \gamma }$es un punto límite de${\displaystyle C_{\beta }}$entonces${\displaystyle \gamma \in \mathrm {Cantar} }$y${\displaystyle C_{\gamma }=C_{\beta }\cap \gamma }$

En la prueba de construcción de${\displaystyle \kappa }$o${\displaystyle \kappa ^{+}}$-Árboles Suslin en L, uno podría querer construir dicho árbol puramente a través de recursión en los niveles. En un conjunto estacionario de niveles, debemos tener que todas las anticadenas deben ser "eliminadas", pero en una etapa límite${\displaystyle \alpha }$Más adelante en la construcción, podríamos tener${\displaystyle T\upharpoonright \alpha }$"parecerse" a ser Aronszajn. Para contrarrestar esto, podemos usar${\displaystyle \Box _{\kappa }}$, lo que nos permite dividir la construcción del árbol en dos casos. En algunas etapas, podríamos eliminar algunas anticadenas usando${\displaystyle \Diamond }$, pero en etapas posteriores (como${\displaystyle \alpha }$en el ejemplo),${\displaystyle \Box _{\kappa }}$se utiliza para refinar la construcción. ^{[ 2 ]}

Jensen también introdujo una versión local del principio. ^{[ 3 ]} Si ${\displaystyle \kappa }$es un cardinal incontable, entonces${\displaystyle \Box _{\kappa }}$afirma que hay una secuencia${\displaystyle (C_{\beta }\mid \beta {\text{ un punto límite de }}\kappa ^{+})}$satisfactorio:

1. ${\displaystyle C_{\beta }}$es un conjunto de club de${\displaystyle \beta }$.
2. Si${\displaystyle cf\beta <\kappa }$, entonces ${\displaystyle |C_{\beta }|<\kappa }$
3. Si${\displaystyle \gamma }$es un punto límite de${\displaystyle C_{\beta }}$entonces${\displaystyle C_{\gamma }=C_{\beta }\cap \gamma }$

Jensen demostró que este principio se cumple en el universo construible para cualquier cardinal no numerable.${\displaystyle \kappa }$.