teoría de funciones geométricas

Una transformación conforme es una función que conserva los ángulos localmente. En el caso más común, la función tiene un dominio y un rango en el plano complejo .

Más formalmente, un mapa,

${\displaystyle f:U\rightarrow V\qquad }$con${\displaystyle U,V\subset \mathbb {C} ^{n}}$

se denomina conforme (o que conserva el ángulo ) en un punto${\displaystyle u_{0}}$si conserva los ángulos orientados entre curvas a través de${\displaystyle u_{0}}$con respecto a su orientación (es decir, no solo la magnitud del ángulo). Las transformaciones conformes conservan tanto los ángulos como las formas de figuras infinitesimalmente pequeñas, pero no necesariamente su tamaño o curvatura .

En el análisis matemático complejo , una aplicación cuasiconforme , introducida por Grötzsch (1928) y nombrada por Ahlfors (1935) , es un homeomorfismo entre dominios planos que, en primer orden, transforma pequeños círculos en pequeñas elipses de excentricidad acotada .

Intuitivamente, sea f  : D  → D ′ un homeomorfismo que preserva la orientación entre conjuntos abiertos en el plano. Si f es continuamente diferenciable , entonces es K -cuasiconforme si la derivada de f en cada punto transforma círculos en elipses con excentricidad acotada por K. 

Si K es 0, entonces la función es conforme .

La continuación analítica es una técnica para extender el dominio de una función analítica dada . A menudo, la continuación analítica logra definir valores adicionales de una función, por ejemplo, en una nueva región donde la representación en serie infinita en términos de la cual se define inicialmente diverge.

Sin embargo, la técnica de continuación por pasos puede presentar dificultades. Estas pueden ser de naturaleza esencialmente topológica, lo que lleva a inconsistencias (definiendo más de un valor). También pueden estar relacionadas con la presencia de singularidades matemáticas . El caso de varias variables complejas es bastante diferente, ya que las singularidades no pueden ser puntos aislados, y su investigación fue una de las principales razones para el desarrollo de la cohomología de haces .

Entre los temas que se tratan en esta área se incluyen las superficies de Riemann para funciones algebraicas y los ceros para funciones algebraicas.

Los temas en esta área incluyen "Principio del máximo; lema de Schwarz, principio de Lindelöf, análogos y generalizaciones". ^{[ 3 ]}

Una función holomorfa en un subconjunto abierto del plano complejo se llama univalente si es inyectiva .

Se puede demostrar que si${\displaystyle G}$y${\displaystyle \Omega }$son dos conjuntos abiertos conexos en el plano complejo, y

${\displaystyle f:G\to \Omega }$

es una función univalente tal que${\displaystyle f(G)=\Omega }$(eso es,${\displaystyle f}$es sobreyectiva ), entonces la derivada de${\displaystyle f}$nunca es cero,${\displaystyle f}$es invertible y su inversa${\displaystyle f^{-1}}$También es holomorfo. Además, se tiene por la regla de la cadena

Los términos alternativos de uso común son schlicht (que en alemán significa simple, sencillo) y simple . Es un hecho notable, fundamental para la teoría de las funciones univalentes, que la univalencia se conserva esencialmente bajo convergencia uniforme.

Dejar${\displaystyle z_{0}}$ser un punto en una región simplemente conexa${\displaystyle D_{1}(D_{1}\neq \mathbb {C} )}$y${\displaystyle D_{1}}$que tenga al menos dos puntos límite. Entonces existe una función analítica única.${\displaystyle w=f(z)}$cartografía${\displaystyle D_{1}}$biyectivamente en el disco de la unidad abierta${\displaystyle |w|<1}$de tal manera que${\displaystyle f(z_{0})=0}$y${\displaystyle f'(z_{0})>0}$.

Si bien el teorema de Riemann demuestra la existencia de una función de mapeo, en realidad no la muestra . A continuación se presenta un ejemplo.

En la figura anterior, considere${\displaystyle D_{1}}$y${\displaystyle D_{2}}$como dos regiones simplemente conectadas diferentes de${\displaystyle \mathbb {C} }$El teorema de la aplicación de Riemann proporciona la existencia de${\displaystyle w=f(z)}$cartografía${\displaystyle D_{1}}$en el disco de la unidad y existencia de${\displaystyle w=g(z)}$cartografía${\displaystyle D_{2}}$en el disco de la unidad. Por lo tanto${\displaystyle g^{-1}f}$es un mapeo uno a uno de${\displaystyle D_{1}}$sobre${\displaystyle D_{2}}$. Si podemos demostrar que${\displaystyle g^{-1}}$y, en consecuencia, la composición es analítica, entonces tenemos un mapeo conforme de${\displaystyle D_{1}}$sobre${\displaystyle D_{2}}$, demostrando que "cualesquiera dos regiones simplemente conexas diferentes del plano completo"${\displaystyle \mathbb {C} }$pueden superponerse de forma conforme."

El lema de Schwarz , que recibe su nombre de Hermann Amandus Schwarz , es un resultado del análisis complejo sobre funciones holomorfas del disco unitario abierto en sí mismo. Este lema es menos conocido que teoremas más fuertes, como el teorema de la aplicación de Riemann , al que ayuda a demostrar. Sin embargo, es uno de los resultados más sencillos que capturan la rigidez de las funciones holomorfas.

El principio del máximo es una propiedad de las soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales parciales , tanto elípticas como parabólicas . En términos generales, establece que el máximo de una función en un dominio se encuentra en la frontera de dicho dominio. Específicamente, el principio del máximo fuerte indica que si una función alcanza su máximo en el interior del dominio, la función es uniformemente constante. El principio del máximo débil establece que el máximo de la función se encuentra en la frontera, pero puede reaparecer también en el interior. Existen otros principios del máximo aún más débiles que simplemente acotan una función en función de su máximo en la frontera.

La fórmula de Riemann-Hurwitz , que recibe su nombre de Bernhard Riemann y Adolf Hurwitz , describe la relación entre las características de Euler de dos superficies cuando una es un recubrimiento ramificado de la otra. Por lo tanto, conecta la ramificación con la topología algebraica , en este caso. Es un resultado prototipo para muchos otros y se aplica frecuentemente en la teoría de superficies de Riemann (que es su origen) y curvas algebraicas .