Espectrograma generalizado

Un espectrograma generalizado , también llamado "espectrograma de dos ventanas", es una aplicación generalizada de los espectrogramas . Para visualizar una señal (considerada una función del tiempo) representada en los ejes de tiempo y frecuencia, se utiliza una representación tiempo-frecuencia . Los espectrogramas son una de las representaciones tiempo-frecuencia más populares.

La definición del espectrograma se basa en la transformada de Gabor (también llamada transformada de Fourier de tiempo corto , o STFT), cuya idea es localizar una señal f en el tiempo multiplicándola por traslaciones de una función de ventana.${\displaystyle w(t)}$.

La definición de espectrograma es

${\displaystyle S{P_{x,w}}(t,f)={G_{x,w}}(t,f)G_{_{x,w}}^{*}(t,f)=|{G_{x,w}}(t,f)|^{2}}$,

dónde${\displaystyle {G_{x,{w_{1}}}}}$denota la transformada de Gabor de${\displaystyle x(t)}$.

Basándose en el espectrograma, el espectrograma generalizado se define como:

${\displaystyle S{P_{x,{w_{1}},{w_{2}}}}(t,f)={G_{x,{w_{1}}}}(t,f)G_{_{x,{w_{2}}}}^{*}(t,f)}$,

dónde:

${\displaystyle {G_{x,{w_{1}}}}\left({t,f}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }{{w_{1}}\left({t-\tau }\right)x\left(\tau \right)\,{e^{-j2\pi \,f\,\tau }}d\tau }}$

${\displaystyle {G_{x,{w_{2}}}}\left({t,f}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }{{w_{2}}\left({t-\tau }\right)x\left(\tau \right)\,{e^{-j2\pi \,f\,\tau }}d\tau }}$

Para${\displaystyle w_{1}(t)=w_{2}(t)=w(t)}$, se reduce al espectrograma clásico:

${\displaystyle S{P_{x,w}}(t,f)={G_{x,w}}(t,f)G_{_{x,w}}^{*}(t,f)=|{G_{x,w}}(t,f)|^{2}}$

La característica del espectrograma generalizado es que los tamaños de ventana de${\displaystyle w_{1}(t)}$y${\displaystyle w_{2}(t)}$son diferentes. Dado que la resolución tiempo-frecuencia se verá afectada por el tamaño de la ventana, si se elige una amplia${\displaystyle w_{1}(t)}$y un estrecho${\displaystyle w_{1}(t)}$(o viceversa), sus resoluciones serán altas en diferentes partes del espectrograma. Tras la multiplicación de estas dos transformadas de Gabor, se mejorarán las resoluciones de los ejes de tiempo y frecuencia.

Relación con la distribución de Wigner

${\displaystyle {\mathcal {SP}}_{w_{1},w_{2}}(t,f)(x,w)=Wig(w_{1}',w_{2}')*Wig(t,f)(x,w),}$

dónde${\displaystyle w_{1}'(s):=w_{1}(-s),w_{2}'(s):=w_{2}(-s)}$

condición marginal de tiempo

El espectrograma generalizado${\displaystyle {\mathcal {SP}}_{w_{1},w_{2}}(t,f)(x,w)}$satisface la condición marginal de tiempo si y solo si${\displaystyle w_{1}w_{2}'=\delta}$,

dónde${\displaystyle \delta }$denota la función delta de Dirac

Condición marginal de frecuencia

El espectrograma generalizado${\displaystyle {\mathcal {SP}}_{w_{1},w_{2}}(t,f)(x,w)}$satisface la condición marginal de frecuencia si y solo si${\displaystyle w_{1}w_{2}'=\delta}$,

dónde${\displaystyle \delta }$denota la función delta de Dirac

Conservación de la energía

El espectrograma generalizado${\displaystyle {\mathcal {SP}}_{w_{1},w_{2}}(t,f)(x,w)}$satisface la conservación de la energía si y solo si${\displaystyle (w_{1},w_{2})=1}$.

Análisis de la realidad

El espectrograma generalizado${\displaystyle {\mathcal {SP}}_{w_{1},w_{2}}(t,f)(x,w)}$es real si y solo si${\displaystyle w_{1}=Cw_{2}}$para algunos${\displaystyle C\in \mathbb {R} }$.