Proyección en perspectiva general

La proyección de perspectiva general es una proyección cartográfica . Cuando se fotografía la Tierra desde el espacio, la cámara registra la imagen como una proyección de perspectiva. Si la cámara apunta hacia el centro de la Tierra, la proyección resultante se denomina perspectiva vertical. Si apunta en otras direcciones, la proyección resultante se denomina perspectiva inclinada.

La perspectiva vertical está relacionada con la proyección estereográfica , la proyección gnomónica y la proyección ortográfica . Todas ellas son proyecciones de perspectiva verdadera , lo que significa que resultan de observar el globo desde un punto de vista determinado. También son proyecciones azimutales , lo que significa que la superficie de proyección es un plano tangente a la esfera. Esto da como resultado direcciones correctas desde el centro hacia todos los demás puntos. El punto de perspectiva , o punto de vista, para la proyección de perspectiva general se encuentra a una distancia finita. Representa la Tierra tal como aparece desde una distancia relativamente corta sobre la superficie, generalmente de unos cientos a unas decenas de miles de kilómetros.

Cuando está inclinada, la proyección de perspectiva general, también llamada proyección de perspectiva inclinada, no es azimutal (véase la segunda figura a continuación); las direcciones no son verdaderas desde el punto central, y el plano de proyección no es tangente a la esfera. ^{[ 1 ]} Las perspectivas inclinadas son comunes en la fotografía aérea y de órbita baja, generalmente tomadas desde una altura medida en kilómetros a cientos de kilómetros, en lugar de los cientos o miles de kilómetros típicos de una perspectiva vertical. Sin embargo, Richard Edes Harrison fue pionero en el uso de esta proyección en mapas estratégicos que mostraban teatros de operaciones militares durante la Segunda Guerra Mundial. Algunas herramientas de mapeo de Internet destacadas también utilizan la proyección de perspectiva inclinada. Por ejemplo, Google Earth y NASA World Wind muestran el globo terráqueo tal como aparece desde el espacio. Estas aplicaciones permiten una amplia variedad de operaciones interactivas de panorámica y zoom, incluidas simulaciones de sobrevuelo, que imitan imágenes o videos tomados con una cámara de mano desde un avión o nave espacial.

Algunos tipos de proyección eran conocidos por los griegos y egipcios hace 2000 años. Varios científicos franceses y británicos la estudiaron en los siglos XVIII y XIX. Sin embargo, en aquel entonces tenía poca utilidad práctica; en su lugar, se podían utilizar proyecciones azimutales no perspectivas, que eran computacionalmente más sencillas.

La exploración espacial propició un renovado interés por la proyección en perspectiva. Ahora, la preocupación radicaba en obtener una vista pictórica desde el espacio, no en minimizar la distorsión. Una fotografía tomada con una cámara de mano desde la ventana de una nave espacial presenta una perspectiva vertical inclinada, por lo que las misiones espaciales tripuladas Gemini y Apolo despertaron interés en esta proyección.

Las fórmulas para la proyección de perspectiva general se derivan usando trigonometría . Se escriben en términos de longitud ( λ ) y latitud ( φ ) en la esfera . Definimos el radio de la esfera R y el punto central (y origen ) de la proyección ( λ₀ _, φ₀ ₎ . Las ecuaciones para la proyección ortográfica sobre el plano tangente ( x , y ) se reducen a lo siguiente: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=R\,k'\cos \varphi \sin \left(\lambda -\lambda _{0}\right)\\y&=R\,k'{\big (}\cos \varphi _{0}\sin \varphi -\sin \varphi _{0}\cos \varphi \cos \left(\lambda -\lambda _{0}\right){\big )}\\\end{alineado}}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}k'&={\frac {dR}{dR\cos c}}\\\cos c&=\sin \varphi _{0}\sin \varphi +\cos \varphi _{0}\cos \varphi \cos \left(\lambda -\lambda _{0}\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle c}$es la distancia angular y${\displaystyle d}$denota la distancia desde el punto de perspectiva hasta el centro de la tierra. Es positiva en la dirección del centro de la proyección (para la “vista desde el espacio”) y negativa en la dirección opuesta. Para la proyección estereográfica ,${\displaystyle d=-R}$, para la proyección gnomónica ,${\displaystyle d=0}$y para la proyección ortográfica ,${\displaystyle d=\infty }$.

Las fórmulas inversas vienen dadas por:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &=\arcsin \left(\cos c\sin \varphi _{0}+{\frac {y\sin c\cos \varphi _{0}}{\rho }}\right)\\\lambda &=\lambda _{0}+\arctan \left({\frac {x\sin c}{\rho \cos c\cos \varphi _{0}-y\sin c\sin \varphi _{0}}}\right)\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\c&=\arcsin {\frac {P-{\sqrt {1-{\frac {\rho ^{2}(P+1)}{R^{2}(P-1)}}}}}{{\frac {R(P-1)}{\rho }}+{\frac {\rho }{R(P-1)}}}}\end{aligned}}}$

Si${\displaystyle P}$es negativo y${\displaystyle \rho }$es mayor que${\displaystyle R(P-1)/P}$,${\displaystyle c}$debe restarse de 180° para colocarlo en el cuadrante correcto. Para el cálculo de las fórmulas inversas se recomienda el uso de la forma atan2 de dos argumentos de la función tangente inversa (en lugar de atan ). Esto garantiza que el signo de la proyección ortográfica tal como está escrita sea correcto en todos los cuadrantes .

Comparación de la proyección de perspectiva general y algunas proyecciones azimutales centradas en 90 °  N a la misma escala, ordenadas por altitud de proyección en radios terrestres ( haga clic  para  ver más detalles ).

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