Factor de juego

La probabilidad de una reacción nuclear es proporcional a la probabilidad de que las partículas atraviesen la barrera.${\displaystyle P_{\mathrm {G} }}$, veces la probabilidad de que reaccionen al hacerlo. Esta última probabilidad se describe mediante el factor S astrofísico .

El factor S depende de las complejas interacciones de fuerza fuerte entre los núcleos y, por lo tanto, depende de forma no lineal de la energía de la partícula. Se define como ^{[ 5 ].}

${\displaystyle S(E)\equiv {\frac {E}{\exp(-2\pi \eta )}}\sigma (E)}$,

donde σ es la sección transversal , una medida de la probabilidad total de reacción.

La barrera de Coulomb provoca que la sección transversal tenga una fuerte dependencia exponencial de${\displaystyle E}$. El factor S remedia esto al factorizar el componente de Coulomb de la sección transversal (el factor de Gamow) y la longitud de onda de De Broglie (la sección transversal es proporcional al cuadrado de la longitud de onda:${\displaystyle \lambda ^{2}={\tfrac {h^{2}}{2mE}}\propto {\tfrac {1}{E}}}$). Para reacciones nucleares sin resonancias ,${\displaystyle S}$varía menos con${\displaystyle E}$que${\displaystyle \sigma }$Sí. Por lo tanto,${\displaystyle S}$es una reparametrización útil de${\displaystyle \sigma }$. ^{[ 6 ]}

Para un gas ideal , la distribución de Maxwell-Boltzmann es proporcional a

${\displaystyle P_{\text{MB}}(E)\propto e^{-m\langle v^{2}\rangle /2k_{\rm {B}}T}=e^{-E/k_{\rm {B}}T}}$

dónde${\displaystyle \langle v^{2}\rangle }$es la velocidad cuadrática promedio de todas las partículas,${\textstyle k_{\rm {B}}}$es la constante de Boltzmann y T es la temperatura absoluta.

La probabilidad de fusión es el producto del factor de distribución de Maxwell-Boltzmann y el factor de Gamow.

${\displaystyle P_{\text{fusion}}(E)=P_{\text{MB}}(E)\cdot P_{\text{G}}(E)\propto \exp \left(-{\frac {E}{k_{\mathrm {B} }T}}-{\sqrt {\frac {E_{\rm {G}}}{E}}}\right)}$

El máximo de la probabilidad de fusión viene dado por${\textstyle \partial P_{\text{fusión}}/\partial E=0,}$lo que produce ^{[ 7 ]}

${\displaystyle E_{\rm {max}}=\left[E_{\rm {G}}\left({\frac {k_{\rm {B}}T}{2}}\right)^{2}\right]^{1/3}.}$

Esta cantidad se conoce como el pico de Gamow. ^{[ c ]}

En expansión${\displaystyle P_{\text{fusión}}}$alrededor${\displaystyle E_{\rm {max}}}$da: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle P_{\text{fusión}}(E)\approx P_{\text{fusión}}(E_{\text{máx}})\cdot \left[1+\left({\frac {E-E_{\rm {máx}}}{2\Delta }}\right)^{2}+\cdots \right],}$

donde (en julios)

${\displaystyle \Delta (T)=4{\sqrt {\frac {E_{\rm {max}}k_{\rm {B}}T}{3}}}={\frac {2^{5/3}}{\sqrt {3}}}[E_{\rm {G}}^{}(k_{\rm {B}}T)^{5}]^{1/6}}$

es la ventana de Gamow. ^{[ d ]}

La derivación consiste en el caso unidimensional de tunelización cuántica utilizando la aproximación WKB . ^{[ 8 ]} Considerando una función de onda de una partícula de masa m , tomamos el área 1 como donde se emite una onda, el área 2 la barrera de potencial que tiene altura V y ancho l (en${\textstyle 0<x<l}$), y el área 3 su otro lado, donde llega la onda, parcialmente transmitida y parcialmente reflejada. Para los números de onda k [m ⁻¹ ] y la energía E obtenemos:

${\displaystyle \Psi _{1}=Ae^{i(kx+\alpha )}e^{-i{Et}/{\hbar }}}$

${\displaystyle \Psi _{2}=B_{1}e^{-k'x}+B_{2}e^{k'x}}$

${\displaystyle \Psi _{3}=(C_{1}e^{-i(kx+\beta )}+C_{2}e^{i(kx+\beta ')})\cdot e^{-i{Et}/{\hbar }}}$

dónde${\displaystyle k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}}$y${\textstyle k'={\sqrt {2m(V-E)/\hbar ^{2}}},}$ambos en [1/m]. Esto se resuelve para un A y una fase α dados tomando las condiciones de contorno en los bordes de la barrera, en${\displaystyle x=0}$y${\displaystyle x=l}$: allá${\textstyle \Psi _{1,3}(t)}$y sus derivadas deben ser iguales en ambos lados. Para${\displaystyle k'l\gg 1}$Esto se resuelve fácilmente ignorando la exponencial del tiempo y considerando solo la parte real (la parte imaginaria tiene el mismo comportamiento). Obtenemos, salvo factores

• dependiendo de las fases β que suelen ser de orden 1, y
• del orden de${\textstyle {k}/{k'}={\sqrt {{E}/{(V-E)}}}}$(se supone que no es muy grande, ya que V es mayor que E (no marginalmente)):

${\displaystyle \Psi _{1}=Ae^{i(kx+\alpha )},\Psi _{3}=C_{1}e^{-i(kx+\beta )}+C_{2}e^{i(kx+\beta ')},}$

${\displaystyle \Psi _{2}\approx Ae^{-k'x}+Ae^{k'x}:B_{1},B_{2}\approx A}$y${\displaystyle C_{1},C_{2}\approx {\frac {1}{2}}A{\frac {k'}{k}}e^{k'l}.}$

A continuación, la desintegración alfa puede modelarse como un problema unidimensional simétrico, con una onda estacionaria entre dos barreras de potencial simétricas en${\displaystyle q_{0}<x<q_{0}+l}$y${\displaystyle -(q_{0}+l)<x<-q_{0}}$y emitiendo ondas en ambos lados exteriores de las barreras. En principio, esto se puede resolver tomando la solución del primer problema y trasladándola mediante${\displaystyle q_{0}}$y pegándolo a una solución idéntica reflejada alrededor${\displaystyle x=0}$.

Debido a la simetría del problema, las ondas emisoras en ambos lados deben tener amplitudes iguales ( A ), pero sus fases ( α ) pueden ser diferentes. Esto da un único parámetro adicional; sin embargo, al unir las dos soluciones en${\textstyle x=0}$requiere dos condiciones de contorno (tanto para la función de onda como para su derivada), por lo que en general no hay solución. En particular, reescribiendo${\textstyle \Psi _{3}}$(tras traducción de${\textstyle q_{0}}$) como suma de un coseno y un seno de${\displaystyle kx}$Cada uno tiene un factor diferente que depende de k y β; el factor del seno debe anularse para que la solución pueda unirse simétricamente a su reflexión. Dado que el factor es generalmente complejo (por lo tanto, su anulación impone dos restricciones, que representan las dos condiciones de contorno), esto se puede resolver generalmente sumando una parte imaginaria a k , lo que proporciona el parámetro adicional necesario. Así, E también tendrá una parte imaginaria.

El significado físico de esto es que la onda estacionaria en el medio se atenúa; por lo tanto, las ondas recién emitidas tienen amplitudes más pequeñas, de modo que su amplitud disminuye con el tiempo pero aumenta con la distancia. Se supone que la constante de atenuación , denotada por λ [1/s], es pequeña en comparación con${\textstyle E/\hbar }$.

λ puede estimarse sin resolver explícitamente, observando su efecto en la ley de conservación de la corriente de probabilidad . Dado que la probabilidad fluye del centro hacia los lados, tenemos:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int _{-(q_{0}+l)}^{(q_{0}+l)}\Psi ^{*}\Psi \ dx=2{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi _{1}^{*}{\frac {\partial \Psi _{1}}{\partial x}}-\Psi _{1}{\frac {\partial \Psi _{1}^{*}}{\partial x}}\right),}$

Nótese que el factor de 2 se debe a que hay dos ondas emitidas.

Tomando${\displaystyle \Psi \sim e^{-\lambda t}}$, esto da como resultado:

${\displaystyle \lambda {\frac {2}{4}}(q_{0}+l)\left(A{\frac {k'}{k}}\right)^{2}e^{2k'l}\approx 2{\frac {\hbar }{m}}A^{2}k.}$

Dado que la dependencia cuadrática en${\displaystyle k'l}$es insignificante en relación con su dependencia exponencial, podemos escribir:

${\displaystyle \lambda \approx 4{\frac {\hbar k}{m(q_{0}+l)}}{\frac {k^{2}}{k'^{2}}}\cdot e^{-2k'l}.}$

Recordando que la parte imaginaria sumada a k es mucho menor que la parte real, ahora podemos despreciarla y obtener:

${\displaystyle \lambda \approx 4{\frac {\hbar k}{m(q_{0}+l)}}\cdot {\frac {E}{V-E}}\cdot e^{-2{\sqrt {2m(V-E)}}l/\hbar }.}$

Tenga en cuenta que${\textstyle {\frac {\hbar k}{m}}={\sqrt {2E/m}}}$es la velocidad de la partícula , por lo que el primer factor es la tasa clásica por la cual la partícula queda atrapada entre las barreras (${\textstyle 2q_{0}}$aparte) los golpea.

Finalmente, pasando al problema tridimensional, la ecuación de Schrödinger con simetría esférica se escribe (expandiendo la función de onda)${\displaystyle \psi (r,\theta ,\phi )=\chi (r)u(\theta ,\phi )}$en armónicos esféricos y observando el término l ):

${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {d^{2}\chi }{dr^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d\chi }{dr}}\right)=\left(V(r)+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}-E\right)\chi .}$

Desde${\displaystyle \ell >0}$equivale a ampliar el potencial y, por lo tanto, a reducir sustancialmente la tasa de decaimiento (dada su dependencia exponencial de${\textstyle {\sqrt {V-E}}}$): nos centramos en${\displaystyle \ell =0}$y obtener un problema muy similar al anterior con${\displaystyle \chi (r)=\Psi (r)/r}$, excepto que ahora el potencial como función de r no es una función escalón . En resumen${\textstyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\ddot {\chi }}+{\frac {2}{r}}{\dot {\chi }}\right)=\left(V(r)-E\right)\chi .}$

El principal efecto de esto en las amplitudes es que debemos reemplazar el argumento en el exponente, tomando una integral de${\textstyle 2{\sqrt {2m(V-E)}}/\hbar }$sobre la distancia donde${\displaystyle V(r)>E}$en lugar de multiplicar por el ancho l . Tomamos el potencial de Coulomb :

${\displaystyle V(r)={\frac {z(Z-z)e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}}$

dónde${\displaystyle \varepsilon _{0}}$es la permitividad eléctrica del vacío , e la carga del electrón , z = 2 es el número de carga de la partícula alfa y Z el número de carga del núcleo ( Z – z después de emitir la partícula). Los límites de integración son entonces:

${\displaystyle r_{2}={\frac {z(Z-z)e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}E}},}$donde suponemos que la energía potencial nuclear es todavía relativamente pequeña, y

${\displaystyle r_{1}}$, que es donde la energía potencial negativa nuclear es lo suficientemente grande como para que el potencial total sea menor que E.

Por lo tanto, el argumento del exponente en λ es:

${\displaystyle 2{\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}\int _{r_{1}}^{r_{2}}{\sqrt {{\frac {V(r)}{E}}-1}}\,dr=2{\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}\int _{r_{1}}^{r_{2}}{\sqrt {{\frac {r_{2}}{r}}-1}}\,dr.}$

Esto se puede solucionar sustituyendo${\textstyle t={\sqrt {r/r_{2}}}}$y luego${\textstyle t=\cos(\theta )}$y despejando θ , obteniendo:

${\displaystyle 2r_{2}{\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}[\cos ^{-1}({\sqrt {x}})-{\sqrt {x}}{\sqrt {1-x}}]=2{\frac {{\sqrt {2m}}z(Z-z)e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\hbar {\sqrt {E}}}}\left[\cos ^{-1}({\sqrt {x}})-{\sqrt {x}}{\sqrt {1-x}}\right]}$

dónde${\displaystyle x=r_{1}/r_{2}}$. Dado que x es pequeño, el factor dependiente de x es del orden de 1.

Arrogante${\textstyle x\ll 1}$, el factor dependiente de x puede ser reemplazado por${\textstyle \arccos 0=\pi /2,}$donación:

${\displaystyle \lambda \approx e^{-{\sqrt {{E_{\mathrm {G} }}/{E}}}}}$con${\displaystyle E_{\mathrm {G} }={\frac {\pi ^{2}m/2\left[z(Z-z)e^{2}\right]^{2}}{(4\pi \varepsilon _{0}\hbar )^{2}}}.}$

Lo cual es lo mismo que la fórmula dada al principio del artículo con${\textstyle Z_{\text{a}}=z}$,${\textstyle Z_{\text{b}}=Z-z}$y la constante de estructura fina${\textstyle \alpha ={\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\hbar c}}:{\sqrt {E_{\rm {G}}}}={\sqrt {m/2}}/(4\epsilon _{0}\hbar )[Z_{a}eZ_{b}e].}$

Para una desintegración alfa del radio , Z = 88, z = 2 y m ≈ 4 m _p , E _G es aproximadamente 50 GeV . Gamow calculó la pendiente de ${\textstyle \log(\lambda )}$con respecto a E a una energía de 5 MeV es ~ 10 ¹⁴ J ⁻¹ , comparado con el valor experimental de   0,7 × 10 ¹⁴  J ⁻¹ . ^{[ e ]}