Límite de Furstenberg

En teoría del potencial , una disciplina dentro de las matemáticas aplicadas , el límite de Furstenberg es una noción de límite asociada con un grupo . Recibe su nombre de Harry Furstenberg , quien lo introdujo en una serie de artículos a partir de 1963 (en el caso de los grupos de Lie semisimples ). El límite de Furstenberg, en términos generales, es un espacio de módulos universal para la integral de Poisson , que expresa una función armónica en un grupo en términos de sus valores de límite.

Un modelo para el límite de Furstenberg es el disco hiperbólico . La fórmula clásica de Poisson para una función armónica acotada en el disco tiene la forma ${\displaystyle D=\{z:|z|<1\}}$

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi}}\int _{0}^{2\pi}}{\hat {f}}(e^{i\theta})P(z,e^{i\theta})\,d\theta}$

donde P es el núcleo de Poisson. Cualquier función f en el disco determina una función en el grupo de transformaciones de Möbius del disco al establecer F ( g ) = f ( g (0)) . Entonces la fórmula de Poisson tiene la forma

${\displaystyle F(g)=\int _{|z|=1}{\hat {f}}(gz)\,dm(z)}$

donde m es la medida de Haar en el límite. Esta función es entonces armónica en el sentido de que satisface la propiedad del valor medio con respecto a una medida en el grupo de Möbius inducida a partir de la medida de Lebesgue habitual del disco, adecuadamente normalizada. La asociación de una función armónica acotada con una función (esencialmente) acotada en el límite es biunívoca.

En general, sea G un grupo de Lie semisimple y μ una medida de probabilidad en G que es absolutamente continua . Una función f en G es μ-armónica si satisface la propiedad del valor medio con respecto a la medida μ:

${\displaystyle f(g)=\int _{G}f(gg')\,d\mu (g')}$

Existe entonces un espacio compacto Π, con una acción G y una medida ν , tal que cualquier función armónica acotada en G está dada por

${\displaystyle f(g)=\int _{\Pi }{\hat {f}}(gp)\,d\nu (p)}$

para alguna función acotada en Π. ${\displaystyle {\hat {f}}}$

El espacio Π y la medida ν dependen de la medida μ (y, por tanto, de lo que constituye precisamente una función armónica). Sin embargo, resulta que, aunque hay muchas posibilidades para la medida ν (que siempre depende genuinamente de μ), solo hay un número finito de espacios Π (salvo isomorfismo): estos son espacios homogéneos de G que son cocientes de G por algún subgrupo parabólico, que se pueden describir completamente en términos de datos de raíz y una descomposición de Iwasawa dada . Además, existe un espacio máximo de este tipo, con funciones cocientes que descienden hasta todos los demás espacios, que se llama frontera de Furstenberg.

• Borel, Armand; Ji, Lizhen, Compactificaciones de espacios simétricos y localmente simétricos (PDF)
• Furstenberg, Harry (1963), "Una fórmula de Poisson para grupos de Lie semisimples", Anales de Matemáticas , 77 (2): 335–386, doi :10.2307/1970220, JSTOR  1970220
• Furstenberg, Harry (1973), Calvin Moore (ed.), "Teoría de límites y procesos estocásticos en espacios homogéneos", Actas de simposios sobre matemáticas puras , 26 , AMS: 193–232, doi :10.1090/pspum/026/0352328, ISBN 9780821814260