Órbita congelada

En mecánica orbital , una órbita congelada es una órbita para un satélite artificial en la que las perturbaciones se han minimizado mediante una cuidadosa selección de los parámetros orbitales . Las perturbaciones pueden resultar de la deriva natural debida a la forma del cuerpo central u otros factores. Normalmente, la altitud de un satélite en una órbita congelada permanece constante en el mismo punto en cada revolución durante un largo período de tiempo. ^{[ 1 ]} Las variaciones en la inclinación , la posición del ápsides de la órbita y la excentricidad se han minimizado eligiendo valores iniciales de manera que sus perturbaciones se cancelen. ^{[ 2 ]} Esto da como resultado una órbita estable a largo plazo que minimiza el uso de propulsor de mantenimiento de posición .

Para las naves espaciales en órbita alrededor de la Tierra, los cambios en los parámetros orbitales son causados ​​por el achatamiento de la Tierra , la atracción gravitatoria del Sol y la Luna, la presión de la radiación solar y la resistencia del aire . ^{[ 3 ]} Estas se denominan fuerzas perturbadoras. Deben contrarrestarse mediante maniobras para mantener la nave espacial en la órbita deseada. Para una nave espacial geoestacionaria , se requieren maniobras de corrección del orden de 40 a 50 m/s (89 a 112 mph) por año para contrarrestar estas fuerzas.  

Para las naves espaciales heliosíncronas , se puede utilizar el desplazamiento intencional del plano orbital (denominado " precesión ") en beneficio de la misión. Para estas misiones,  se utiliza una órbita casi circular con una altitud de 600 a 900 km. Se selecciona una inclinación adecuada (97,8-99,0 grados) ^{[ 4 ]} de modo que la precesión del plano orbital sea igual a la velocidad de rotación de la Tierra alrededor del Sol, aproximadamente 1 grado por día.

Como resultado, la nave espacial pasará por puntos de la Tierra que tendrán la misma hora del día en cada órbita. Por ejemplo, si la órbita es perpendicular al Sol, la nave siempre pasará por puntos donde serán las 6 a. m. en la parte norte y las 6 p. m. en la parte sur. Esto se denomina órbita de amanecer-anochecer. Por otro lado, si el Sol se encuentra en el plano orbital, la nave siempre pasará por lugares donde será mediodía en la parte norte y medianoche en la parte sur. Estas se denominan órbitas de mediodía-medianoche. Dichas órbitas son deseables para muchas misiones de observación de la Tierra, como las de meteorología, imágenes y cartografía.

Las fuerzas perturbadoras causadas por el achatamiento de la Tierra generalmente perturban no solo el plano orbital, sino también la excentricidad de la órbita. Sin embargo, existen órbitas casi circulares para las cuales no hay perturbaciones periódicas seculares o de largo período del vector de excentricidad, sino solo perturbaciones periódicas con un período igual al período orbital . Dicha órbita es entonces perfectamente periódica (excepto por la precesión del plano orbital) y, por lo tanto, se denomina "órbita congelada". Estas órbitas suelen ser la opción preferida para las misiones de observación de la Tierra donde se desean observaciones repetidas en condiciones constantes.

Los satélites de observación de la Tierra suelen operar en órbitas heliosíncronas fijas debido a las ventajas de observación que ofrecen.

La teoría clásica de las órbitas congeladas se basa esencialmente en el análisis de perturbación analítica para satélites artificiales de Dirk Brouwer realizado bajo contrato con la NASA y publicado en 1959. ^{[ 8 ]}

Este análisis se puede realizar de la siguiente manera:

En el artículo análisis de perturbación orbital , la perturbación secular del polo orbital${\displaystyle \Delta {\hat {z}}\,}$desde${\displaystyle J_{2}\,}$Se muestra que el término del modelo geopotencial es

que se puede expresar en términos de elementos orbitales de la siguiente manera:

Realizando un análisis similar para el${\displaystyle J_{3}\,}$término (que corresponde al hecho de que la tierra tiene una forma ligeramente de pera ), uno obtiene

que se puede expresar en términos de elementos orbitales como

En el mismo artículo se analiza la perturbación secular de los componentes del vector de excentricidad causada por la${\displaystyle J_{2}\,}$se muestra que es:

dónde:

• El primer término es la perturbación en el plano del vector de excentricidad causada por la componente en el plano de la fuerza perturbadora.
• El segundo término es el efecto de la nueva posición del nodo ascendente en el nuevo plano orbital, el cual se ve perturbado por la componente de fuerza fuera del plano.

Realizar el análisis para el${\displaystyle J_{3}\,}$término uno se obtiene para el primer término, es decir para la perturbación del vector de excentricidad a partir de la componente de fuerza en el plano

Para inclinaciones en el rango de 97,8 a 99,0 grados, la${\displaystyle \Delta \Omega \,}$El valor dado por ( 6 ) es mucho menor que el valor dado por ( 3 ) y puede ignorarse. De manera similar, los términos cuadráticos de las componentes del vector de excentricidad en ( 8 ) pueden ignorarse para órbitas casi circulares, es decir, ( 8 ) puede aproximarse con

Agregar el${\displaystyle J_{3}\,}$contribución ${\displaystyle 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \sin i\ \left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\ (1,\ 0)}$

a ( 7 ) uno obtiene

Ahora la ecuación de diferencias muestra que el vector de excentricidad describirá un círculo centrado en el punto${\displaystyle \left(\ 0,\ -{\frac {J_{3}\ \sin i}{J_{2}\ 2\ p}}\ \right)\,}$; el argumento polar del vector de excentricidad aumenta con${\displaystyle -2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ 3\left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\,}$radianes entre órbitas consecutivas.

Como

${\displaystyle \mu =398600.440{\text{ km}}^{3}/s^{2}\,}$

${\displaystyle J_{2}=1.7555\ 10^{10}{\text{ km}}^{5}/s^{2}\,}$

${\displaystyle J_{3}=-2.619\ 10^{11}{\text{ km}}^{6}/s^{2}\,}$

uno se obtiene para una órbita polar (${\displaystyle i=90^{\circ }\,}$) con${\displaystyle p=7200{\text{ km}}\,}$que el centro del círculo está en${\displaystyle (0,\ 0.001036)\,}$y el cambio del argumento polar es de 0,00400 radianes por órbita.

Esta última cifra significa que el vector de excentricidad habrá descrito un círculo completo en 1569 órbitas. Seleccionando el vector de excentricidad media inicial como${\displaystyle (0,\ 0.001036)\,}$El vector de excentricidad media permanecerá constante para órbitas sucesivas, es decir, la órbita está congelada debido a las perturbaciones seculares de la${\displaystyle J_{2}\,}$término dado por ( 7 ) y de la${\displaystyle J_{3}\,}$El término dado por ( 9 ) se cancela.

En términos de elementos orbitales clásicos, esto significa que una órbita congelada debería tener los siguientes elementos medios:

${\displaystyle e=-{\frac {J_{3}\ \sin i}{J_{2}\ 2\ p}}\,}$

${\displaystyle \omega =\ 90^{\circ }\,}$

La teoría moderna de las órbitas congeladas se basa en el algoritmo presentado en un artículo de 1989 por Mats Rosengren. ^{[ 9 ]}

Para ello se utiliza la expresión analítica ( 7 ) para actualizar iterativamente el vector de excentricidad inicial (media) para obtener que el vector de excentricidad (media) calculado varias órbitas después mediante la propagación numérica precisa tome exactamente el mismo valor. De esta manera, la perturbación secular del vector de excentricidad causada por la${\displaystyle J_{2}\,}$El término se utiliza para contrarrestar todas las perturbaciones seculares, no solo aquellas (dominantes) causadas por la${\displaystyle J_{3}\,}$término. Una de esas perturbaciones seculares adicionales que de esta manera se pueden compensar es la causada por la presión de la radiación solar , esta perturbación se analiza en el artículo " Análisis de perturbaciones orbitales (naves espaciales) ".

Aplicando este algoritmo al caso discutido anteriormente, es decir, una órbita polar (${\displaystyle i=90^{\circ }\,}$) con${\displaystyle p=7200{\text{ km}}\,}$ignorando todas las fuerzas perturbadoras distintas de la${\displaystyle J_{2}\,}$y el${\displaystyle J_{3}\,}$fuerzas para la propagación numérica se obtiene exactamente el mismo vector de excentricidad promedio óptimo que con la "teoría clásica", es decir${\displaystyle (0,\ 0.001036)\,}$.

Cuando también incluimos las fuerzas debidas a los términos zonales superiores, el valor óptimo cambia a${\displaystyle (0,\ 0.001285)\,}$.

Suponiendo además una presión solar razonable (un "área de sección transversal" de 0,05 m² ^/ kg , en la dirección del sol hacia el nodo ascendente), el valor óptimo para el vector de excentricidad promedio se convierte en:${\displaystyle (0.000069,\ 0.001285)\,}$que corresponde a  :${\displaystyle \omega =\ 87^{\circ }\,}$, es decir, el valor óptimo no es${\displaystyle \omega =\ 90^{\circ }}$ya no.

Este algoritmo está implementado en el software de control de órbita utilizado para los satélites de observación de la Tierra ERS-1, ERS-2 y Envisat .

La principal fuerza perturbadora que debe contrarrestarse para tener una órbita congelada es la "${\displaystyle J_{3}\,}$fuerza", es decir, la fuerza gravitacional causada por una simetría imperfecta norte-sur de la Tierra, y la "teoría clásica" se basa en la expresión de forma cerrada para esta "${\displaystyle J_{3}\,}$perturbación". Con la "teoría moderna", esta expresión explícita en forma cerrada no se utiliza directamente, pero sin duda sigue siendo útil derivarla. La derivación de esta expresión se puede realizar de la siguiente manera:

El potencial de un término zonal es simétrico rotacionalmente alrededor del eje polar de la Tierra y la fuerza correspondiente se encuentra completamente en un plano longitudinal con una componente.${\displaystyle F_{r}\ {\hat {r}}\,}$en la dirección radial y un componente${\displaystyle F_{\lambda }\ {\hat {\lambda }}\,}$ con el vector unitario${\displaystyle {\hat {\lambda }}\,}$ortogonal a la dirección radial hacia el norte. Estas direcciones${\displaystyle {\hat {r}}\,}$y${\displaystyle {\hat {\lambda }}\,}$se ilustran en la Figura 1.

En el artículo Modelo de geopotencial se muestra que estos componentes de fuerza causados ​​por el${\displaystyle J_{3}\,}$los términos son

Para poder aplicar las relaciones derivadas en el artículo Análisis de perturbación orbital (nave espacial) el componente de fuerza${\displaystyle F_{\lambda }\ {\hat {\lambda }}\,}$debe dividirse en dos componentes ortogonales${\displaystyle F_{t}\ {\hat {t}}}$y${\displaystyle F_{z}\ {\hat {z}}}$como se ilustra en la figura 2

Dejar${\displaystyle {\hat {a}},\ {\hat {b}},\ {\hat {n}}\,}$conformar un sistema de coordenadas rectangulares con origen en el centro de la Tierra (en el centro del elipsoide de referencia ) tal que${\displaystyle {\hat {n}}\,}$apunta en dirección norte y de tal manera que${\displaystyle {\hat {a}},\ {\hat {b}}\,}$están en el plano ecuatorial de la Tierra con${\displaystyle {\hat {a}}\,}$apuntando hacia el nodo ascendente , es decir, hacia el punto azul de la Figura 2.

Los componentes de los vectores unitarios

${\displaystyle {\hat {r}},\ {\hat {t}},\ {\hat {z}}\,}$

conformando el sistema de coordenadas local (del cual${\displaystyle {\hat {t}},\ {\hat {z}},}$se ilustran en la figura 2), y expresando su relación con${\displaystyle {\hat {a}},\ {\hat {b}},\ {\hat {n}}\,}$son los siguientes:

${\displaystyle r_{a}=\cos u\,}$

${\displaystyle r_{b}=\cos i\ \sin u\,}$

${\displaystyle r_{n}=\sin i\ \sin u\,}$

${\displaystyle t_{a}=-\sin u\,}$

${\displaystyle t_{b}=\cos i\ \cos u\,}$

${\displaystyle t_{n}=\sin i\ \cos u\,}$

${\displaystyle z_{a}=0\,}$

${\displaystyle z_{b}=-\sin i\,}$

${\displaystyle z_{n}=\cos i\,}$

dónde${\displaystyle u\,}$es el argumento polar de${\displaystyle {\hat {r}}\,}$relativo a los vectores unitarios ortogonales${\displaystyle {\hat {g}}={\hat {a}}\,}$y${\displaystyle {\hat {h}}=\cos i\ {\hat {b}}\ +\ \sin i\ {\hat {n}}\,}$en el plano orbital

En primer lugar

${\displaystyle \sin \lambda =\ r_{n}\ =\ \sin i\ \sin u\,}$

dónde ${\displaystyle \lambda \,}$es el ángulo entre el plano del ecuador y${\displaystyle {\hat {r}}\,}$(entre los puntos verdes de la figura 2) y de la ecuación (12) del artículo Modelo de geopotencial se obtiene, por lo tanto,

En segundo lugar, la proyección de la dirección norte,${\displaystyle {\hat {n}}\,}$, en el plano abarcado por${\displaystyle {\hat {t}},\ {\hat {z}},}$es

${\displaystyle \sin i\ \cos u\ {\hat {t}}\ +\ \cos i\ {\hat {z}}\,}$

y esta proyección es

${\displaystyle \cos \lambda \ {\hat {\lambda }}\,}$

dónde${\displaystyle {\hat {\lambda }}\,}$es el vector unitario${\displaystyle {\hat {\lambda }}}$ortogonal a la dirección radial hacia el norte ilustrada en la figura 1.

De la ecuación ( 11 ) vemos que

${\displaystyle F_{\lambda }\ {\hat {\lambda }}\ =-J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}\lambda \ -1\right)\ \cos \lambda \ {\hat {\lambda }}\ =\ -J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}\lambda \ -1\right)\ (\sin i\ \cos u\ {\hat {t}}\ +\ \cos i\ {\hat {z}})\,}$

y por lo tanto:

En el artículo Análisis de perturbación orbital (nave espacial) se muestra además que la perturbación secular del polo orbital${\displaystyle {\hat {z}}\,}$es

Presentando la expresión para${\displaystyle F_{z}\,}$de ( 14 ) en ( 15 ) se obtiene

La fracción${\displaystyle {\frac {p}{r}}\,}$es

${\displaystyle {\frac {p}{r}}\ =\ 1+e\cdot \cos \theta \ =\ 1+e_{g}\cdot \cos u+e_{h}\cdot \sin u}$

dónde

${\displaystyle e_{g}=\ e\ \cos \omega }$

${\displaystyle e_{h}=\ e\ \sin \omega }$

son los componentes del vector de excentricidad en el${\displaystyle {\hat {g}},\ {\hat {h}}\,}$sistema de coordenadas.

Como todas las integrales de tipo

${\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }\cos ^{m}u\ \sin ^{n}u\ du\,}$

son cero si no ambos${\displaystyle n\,}$y${\displaystyle m\,}$son iguales, vemos que

y

Resulta que

dónde

${\displaystyle {\hat {g}}\,}$y${\displaystyle {\hat {h}}\,}$son los vectores base del sistema de coordenadas rectangulares en el plano de la órbita de Kepler de referencia con${\displaystyle {\hat {g}}\,}$en el plano ecuatorial hacia el nodo ascendente y${\displaystyle u\,}$¿Es el argumento polar relativo a este sistema de coordenadas ecuatoriales?

${\displaystyle f_{z}\,}$es la componente de fuerza (por unidad de masa) en la dirección del polo de la órbita${\displaystyle {\hat {z}}\,}$

En el artículo Análisis de perturbación orbital (nave espacial) se muestra que la perturbación secular del vector de excentricidad es

dónde

• ${\displaystyle {\hat {r}},{\hat {t}}\,}$es el sistema de coordenadas local habitual con vector unitario${\displaystyle {\hat {r}}\,}$dirigido lejos de la Tierra
• ${\displaystyle V_{r}={\sqrt {\frac {\mu }{p}}}\cdot e\cdot \sin \theta }$- el componente de velocidad en dirección${\displaystyle {\hat {r}}\,}$
• ${\displaystyle V_{t}={\sqrt {\frac {\mu }{p}}}\cdot (1+e\cdot \cos \theta )}$- el componente de velocidad en dirección${\displaystyle {\hat {t}}\,}$

Presentando la expresión para${\displaystyle F_{r},\ F_{t}\,}$de ( 12 ) y ( 13 ) en ( 20 ) se obtiene

Usando eso

${\displaystyle {\frac {V_{r}}{V_{t}}}={\frac {e_{g}\cdot \sin u\ -\ e_{h}\cdot \cos u}{\frac {p}{r}}}}$

La integral anterior se puede dividir en 8 términos:

Dado que

${\displaystyle {\hat {r}}=\cos u\ {\hat {g}}\ +\ \sin u\ {\hat {h}}}$

${\displaystyle {\hat {t}}=-\sin u\ {\hat {g}}\ +\ \cos u\ {\hat {h}}}$

obtenemos

${\displaystyle {\frac {p}{r}}\ =\ 1+e\cdot \cos \theta \ =\ 1+e_{g}\cdot \cos u+e_{h}\cdot \sin u}$

y que todas las integrales de tipo

${\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }\cos ^{m}u\ \sin ^{n}u\ du\,}$

son cero si no ambos${\displaystyle n\,}$y${\displaystyle m\,}$son iguales:

Trimestre 1

Segundo trimestre

Trimestre 3

Cuarto trimestre

Quinto trimestre

Sexto trimestre

Trimestre 7

Trimestre 8

Como

Resulta que

• ESTUDIO DE ELEMENTOS ORBITALES EN LAS PROXIMIDADES DE UNA ÓRBITA CONGELADA, incluyendo el arrastre atmosférico y los términos J _5.