Compactación de Freund-Rubin

La compactificación de Freund-Rubin es una forma de reducción dimensional en la que una teoría de campo en un espaciotiempo d -dimensional , que contiene la gravedad y algún campo cuya intensidad de campo${\displaystyle F}$es un tensor antisimétrico de rango s , 'prefiere' ser reducido a un espaciotiempo con una dimensión de s o ds .

Consideremos la relatividad general en d dimensiones espaciotemporales. En presencia de un campo tensorial antisimétrico (sin fuentes externas), las ecuaciones de campo de Einstein y las ecuaciones de movimiento para el tensor antisimétrico son:

${\displaystyle {\begin{aligned}R^{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg^{\mu \nu }=8\pi T^{\mu \nu },~~~~\nabla _{\mu }F^{\mu \,\alpha _{2}...\alpha _{s}}=0\end{aligned}}}$

Donde el tensor de energía-impulso toma la forma

${\displaystyle T^{\mu \nu }=F_{\alpha _{1}...\alpha _{s-1}}~^{\mu }F^{\alpha _{1}....\alpha _{s-1}\nu }-{\frac {1}{2s}}F_{\alpha _{1}....\alpha _{s}}F^{\alpha _{1}....\alpha _{s}}g^{\mu \nu }}$

Al ser un tensor antisimétrico de rango s , la fuerza del campo${\displaystyle F}$tiene una solución natural , proporcional al tensor de Levi-Civita en alguna variedad s -dimensional .

${\displaystyle F^{\mu _{1}...\mu _{s}}=(\epsilon ^{\mu _{1}...\mu _{s}}/{\sqrt {g_{s}}})f}$

Aquí están los índices${\displaystyle \mu _{i}}$recorre s de las dimensiones del espaciotiempo ambiente d -dimensional,${\displaystyle g_{s}}$es el determinante de la métrica de este subespacio s -dimensional, y${\displaystyle f}$es alguna constante con dimensiones de masa al cuadrado (en unidades naturales ).

Dado que la intensidad del campo es distinta de cero solo en una subvariedad s -dimensional, la métrica${\displaystyle g}$se separa naturalmente en dos partes, de forma diagonal por bloques.

${\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}g_{mn}(x^{p})&0\\0&g_{{\bar {m}}{\bar {n}}}(x^{\bar {p}})\end{bmatrix}}}$

con${\displaystyle m}$,${\displaystyle n}$, y${\displaystyle p}$extendiéndose sobre las mismas dimensiones s que la intensidad del campo.${\displaystyle F}$, y${\displaystyle {\bar {m}}}$,${\displaystyle {\bar {n}}}$, y${\displaystyle {\bar {p}}}$cubriendo las dimensiones ds restantes. Habiendo separado nuestro espacio d dimensional en el producto de dos subespacios, las ecuaciones de campo de Einstein nos permiten resolver para la curvatura de estas dos subvariedades, y encontramos

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{ds}&={\frac {(s-1)(ds)}{(d-2)}}\lambda ,~~R_{s}=-{\frac {s(ds-1)}{(d-2)}}\lambda \\\lambda &=8\pi G\operatorname {sgn}(g_{s})f^{2}\end{aligned}}}$

Encontramos que las curvaturas de Ricci de las subvariedades s- y (ds) -dimensionales son necesariamente de signo opuesto. Una debe tener curvatura positiva y la otra debe tener curvatura negativa , por lo que una de estas variedades debe ser compacta . En consecuencia, a escalas significativamente mayores que la de la variedad compacta, el universo parece tener dimensiones s o (ds) , en contraposición a la dimensión d subyacente .

Como un ejemplo importante de esto, la supergravedad de once dimensiones contiene un tensor antisimétrico de 3 formas con una fuerza de campo de 4 formas y, en consecuencia, prefiere compactificar 7 o 4 de sus dimensiones espaciales, por lo que el espaciotiempo a gran escala debe ser de 4 o 7 dimensiones, siendo la primera atractiva desde una perspectiva fenomenológica ^{[ 1 ].}

Algunos ejemplos importantes de compactificación de Freund-Rubin provienen del estudio del comportamiento de las branas en la teoría de cuerdas . De manera similar a como el acoplamiento al campo electromagnético estabiliza las partículas con carga eléctrica, la presencia de campos tensoriales antisimétricos de diversos rangos en una teoría de cuerdas estabiliza las branas de diversas dimensiones. A su vez, la geometría del espaciotiempo cerca de pilas de branas se deforma de tal manera que se produce la compactificación de Freund-Rubin. En la teoría de cuerdas de tipo IIB , que requiere diez dimensiones espaciotemporales, existe una intensidad de campo de cinco formas.${\displaystyle F_{5}}$que permite D-branas tridimensionales , y la geometría cercana al horizonte de una pila de D3-branas es un espacio anti-de Sitter pentadimensional multiplicado por una esfera pentadimensional ,${\displaystyle AdS_{5}\times S^{5}}$, que es compacta en cinco dimensiones. Esta geometría es una parte importante de la correspondencia AdS/CFT. ^{[ 2 ]}

De manera similar, la teoría M y su límite de baja energía de supergravedad de once dimensiones contienen una fuerza de campo de 4 formas, que estabiliza las branas M2 y M5. La geometría cercana al horizonte de pilas de estas branas es${\displaystyle AdS_{4}\times S^{7}}$y${\displaystyle AdS_{7}\times S^{4}}$, respectivamente.